Épitrochoïde

La courbe rouge est une épitrochoïde dessiné grâce à un cercle noir roulant sans glisser autour d'un cercle bleu (les paramètres sont R = 3, r = 1 et d = 1/2)

Une épitrochoïde est une courbe plane transcendante, correspondant à la trajectoire d'un point fixé à un cercle mobile qui roule sans glisser sur et autour d'un autre cercle dit directeur.

Équations paramétriques

$x = (R + r)\cos\theta - d\cos\left({R + r \over r}\theta\right),\,$

$y = (R + r)\sin\theta - d\sin\left({R + r \over r}\theta\right).\,$

où R est le rayon du cercle directeur, r celui du cercle mobile, d la distance du point au centre du cercle mobile et $\theta$ le paramètre d'angle.

Double génération

Toute épicycloïde de paramètres R, r, d est équivalente à une péritrochoïde de paramètres $\begin{array}{lll}R'={d \over r}R , & r'={d \over r}(R + r) , & d' = R + r \end{array}$.

Par péritrochoïde, on entend la courbe obtenue à l'aide d'un point lié à un cercle mobile roulant sans glisser autour d'un cercle directeur qu'il contient, soit une « hypotrochoïde » pour laquelle $r > R$.

L'enceinte du moteur Wankel représente en coupe une épitrochoïde/péritrochoïde.

Formes particulières

• Lorsque le point est situé sur le cercle mobile ($d = r$), on obtient une épicycloïde.
• Quand les deux cercles sont de même rayon ($R = r$), l'épitrochoïde représente un limaçon de Pascal, voire une cardioïde si $d = r$.
• Pour $d = R + r$, on obtient une rosace.

Voir aussi

Articles connexes

• Épicycloïde
• Hypotrochoïde
• Spirographe

Liens externes

• Epitrochoïde sur Mathcurve.com: Encyclopédie des formes mathématiques remarquables