Conchoïde

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Conchoïde d'une ellipse
Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec cassure conchoïdale.

Une conchoïde [kɔ̃kɔid] (du latin concha, coquille) est une courbe obtenue à partir d'un point fixe O, d'une autre courbe, et d'une distance d. O est alors le pôle de la conchoïde et d son module. Pour chaque droite passant par O qui coupe la courbe donnée en un point P, on trace les points N et Q de la droite situés à une distance d de P. La conchoïde est le lieu géométrique des points N et Q lorsque P parcourt la courbe donnée.

En coordonnées polaires de pôle O, si la courbe donnée a pour équation polaire r = \alpha(\theta) alors la conchoïde aura pour équation r = \alpha(\theta) \pm d.


Conchoïde de Nicomède[modifier | modifier le code]

La conchoïde la plus simple est la conchoïde de droite, inventée par Nicomède, mathématicien grec du IIe siècle av. J.-C. . Il fut le premier à réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).

C'est la courbe d'équation polaire \rho = \frac a {cos \theta } + d, où a est la distance du pôle à la directrice (a = OH).

Trisection d'un angle[modifier | modifier le code]

Grâce à la conchoïde de Nicomède, on obtient la trisection de l'angle \widehat{OIH}

Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices, c'est-à-dire qu'elles permettent de diviser en trois angles égaux un angle. À chaque angle φ à trisecter, correspond une conchoïde différente.

Afin de réaliser une trisection, construire un triangle OHI rectangle en H, tel que l'angle φ à trisecter soit \widehat{OIH}. Ensuite, construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module OI.

On a alors, avec \widehat{IOH} = \phi : a = oH et d = oI =  \frac a {cos \phi } . La conchoïde a donc pour équation \rho = \frac a {cos \theta } + \frac a {cos \phi }.

L'intersection de la courbe avec le cercle de centre I passant par o permet de déterminer deux points M et N, et grâce aux propriétés fondamentales de la conchoïde, on démontre que l'angle \widehat{NIP} trisecte l'angle \widehat{OIH} ou encore que l'angle \widehat{NIP} est le tiers de l'angle \widehat{OIH}.

Duplication d'un cube[modifier | modifier le code]

Les conchoïdes de Nicomède sont également des duplicatrices[1].

Construction de la tangente et de la normale[modifier | modifier le code]

Tracé d'une normale d'une conchoïde de Nicomède[2].

Dans son livre La Géométrie, René Descartes explique une méthode permettant de tracer la normale, et donc par extension la tangente à la conchoïde de Nicomède.

La voici exposée brièvement :

On veut tracer la normale d'une conchoïde de Nicomède de pôle A et de module b en un point C. La droite directrice de cette conchoïde sera appelée (BH), où B est de telle sorte que (AB) et (CH) soient perpendiculaires à (BH).

  • Tracer le segment [CE] de manière à ce qu'E soit l'intersection entre les droites (BH) et (CA).
  • Placer le point F tel que F appartienne à [CE] et CF = CH.
  • Placer le point G sur la droite perpendiculaire à (BH) et passant par F de façon à ce que FG = EA.
  • La droite (CG) est alors la normale à la courbe en C.

Conchoïde de cercle[modifier | modifier le code]

Les conchoïdes de cercle peuvent être utiles pour obtenir la trisection d'un angle. On pourrait également les utiliser pour étudier le mouvement d'une bielle dans le cas où elle serait astreinte à coulisser en passant par un point fixe et où l'un de ses points parcourrait un cercle.

Dans un repère dont l'origine O est le pôle de la conchoïde, l'équation polaire de la conchoïde d'un cercle de centre C(a, 0) et de rayon r = ka (a représente la distance OC) et de module d = la est :  \rho = a(cos\theta \pm \sqrt{k^{2} - sin^{2}\theta} \pm l) .

Conchoïde d'un cercle (pôle externe au cercle)

On trouve quelques cas particuliers intéressants :

  • lorsque le pôle est confondu avec le centre du cercle, la conchoïde correspondante est constituée de deux cercles concentriques dont les rayons sont r = R + d et r' = R - d.
  • lorsque le pôle se situe sur le cercle, on obtient alors un limaçon de Pascal.


Limaçon de Pascal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Limaçon de Pascal.

Les limaçons de Pascal doivent leur nom à Étienne Pascal, père de Blaise Pascal.

Un limaçon de Pascal correspond à la conchoïde d'un cercle lorsque le pôle de la conchoïde se situe sur le cercle. Ils ont pour équation en coordonnées polaires :

\rho = a+b\cos\theta~

On peut noter que lorsque b = 2a, on obtient le limaçon trisecteur qui possède, à l'instar de la conchoïde de Nicomède, la particularité de permettre d'exécuter la trisection de l'angle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. www.mathcruve.com
  2. Issu de La Géométrie de René Descartes

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