Limaçon de Pascal

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animation montrant la génération d'un limaçon par le mouvement d'un disque sur un cercle
Le limaçon est une épitrochoïde, c'est-à-dire une trochoïde avec un cercle pour base du mouvement.

Le limaçon de Pascal est une courbe plane fermée présentant éventuellement un point double, obtenue en traçant le mouvement décrit par un point d'un disque roulant (sans glisser) sur un cercle. La cardioïde en est un cas particulier : le point double dégénère alors en rebroussement (de première espèce). Le limaçon trisecteur est un second cas particulier (à ne pas confondre avec la trisectrice de Colin Maclaurin)

Étude sommaire[modifier | modifier le code]

Le limaçon a pour équation en coordonnées polaires :

r=a+b\cos\theta~

ce qui donne, en coordonnées cartésiennes :

(x^2+y^2)^2-(a^2+2bx)(x^2+y^2)+b^2x^2=0.~

C'est donc une quartique rationnelle, c'est-à-dire une courbe algébrique de degré 4.

Histoire[modifier | modifier le code]

L'intérêt des Pascal pour les roulettes est bien documenté. Le limaçon, qui en est une généralisation, a été proposé comme sujet d'étude par Étienne Pascal, père de Blaise Pascal, au père Mersenne, d'où son nom. On retrouve toutefois déjà cette courbe dans l'Underweysung der Messung d'Albrecht Dürer, qui en indique le tracé avec des outils de dessin[1].

représentation graphique d'un limaçon, d'une cardioïde et de la trisectrice
De gauche à droite : un limaçon, une cardioïde et la trisectrice.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dürer parle de ligne arachnéenne, par allusion à l'araignée d'un astrolabe : cf. Albrecht Dürer (trad. Jeanne Peiffer), Géométrie [« Underweysung der Messung »], éditions du Seuil,‎ 1995 (ISBN 2-02-012427-0), p. 183