Indice de réfraction

Image des fronts d'onde émis par une source ponctuelle au-dessus d'un dioptre, mettant en évidence le phénomène de réfraction. La zone inférieure a un plus grand indice de réfraction et donc une vitesse de phase plus faible que la zone supérieure. Pour une raison de clarté, la réflexion partielle n'est pas montrée.

L’indice de réfraction, noté n, est une grandeur sans dimension caractéristique d'un milieu, décrivant le comportement de la lumière dans ce milieu. L'indice dépend de la longueur d'onde de mesure mais aussi des caractéristiques du milieu. L'indice de réfraction est parfois appelé « constante optique » d'un matériau, par abus de langage, cette grandeur étant à la fois variable et liée aux propriétés optiques, cristallographiques ou encore diélectriques des matériaux.

Cette grandeur peut prendre des valeurs très diverses ; bien qu'il soit communément supposé supérieur à 1, l'indice de réfraction peut en réalité prendre des valeurs bien différentes. Dans un milieu absorbant, l'indice de réfraction est un nombre complexe dont la partie imaginaire rend compte de l'atténuation de l'onde dans le milieu. Les milieux biréfringents possèdent deux indices, un ordinaire et un extraordinaire. Certains matériaux particuliers peuvent avoir un indice dit non linéaire, tandis que des métamatériaux ont été élaborés avec des indices négatifs.

L'indice de réfraction intervient notamment dans les lois de Snell-Descartes, qui mettent en jeu le rapport des indices de réfraction. Cet effet, appelé réfraction, est à la base de la conception des lentilles optiques. Les indices de réfraction se mesurent par réfractométrie. L'angle de Brewster, le phénomène de réflexion totale ou encore les coefficients de Fresnel de transmission et de réflexion dépendent de l'indice de réfraction. Le fait que l'indice de réfraction dépende de la longueur d'onde est appelé dispersion et provoque la dispersion de la lumière dans les prismes ou dans les arcs-en-ciel.

Historique

Article détaillé : Réfraction.

Une première approche de la loi de réfraction fut entreprise par Ptolémée au II^e siècle av. J.-C., il suggéra que le rapport θ₁/θ₂ était constant, ce qui est techniquement vrai pour des petits angles. L'observation du rapport entre angle de réfraction et angle d'incidence fut aussi menée par Ibn Sahl au X^e siècle qui fut le précurseur de la théorie de la réfraction, avec Ibn al-Haytham, qui vers la même époque, lia la vitesse de la lumière à l'indice de réfraction. La théorie d'Ibn Sahl ne fut découverte que plus tard, de manière très confidentielle vers 1621, par le mathématicien hollandais Willebrord Snell Van Royen, puis en 1626 par René Descartes qui publia une nouvelle loi de la réfraction dans La Diotrique en 1637, et Thomas Harriott qui sembla lui aussi parvenir aux mêmes formules. La loi de Snell-Descartes pour la réfraction est la première à faire intervenir explicitement la notion d'indice de réfraction.

Biréfringence dans un cristal de calcite (ou spath d'Islande) : la réfraction dédouble le texte.

Descartes avait démontré la relation en se basant sur des hypothèses fausses sur la vitesse de la lumière, il fallut attendre Christian Huygens en 1678 pour que la démonstration de la relation soit faite sur une base théorique saine ainsi que Isaac Newton en 1672 pour émettre l'hypothèse selon laquelle l'indice de réfraction est propre à chaque longueur d'onde, ce qui provoque la dispersion des couleurs d'un faisceau de lumière blanche passant par un prisme.

On doit aussi aux travaux de Huygens la découverte du phénomène dit de « double réfraction » de la calcite, qui est en fait la biréfringence du cristal faisant qu'un faisceau de lumière traversant le cristal est réfracté différemment selon sa polarisation.

Ces travaux se basant sur une hypothèse particulaire - la matière serait composée de particules - n'expliquaient pas pourquoi la lumière se déplaçait différemment dans une matière ou l'autre. Il faut attendre les travaux de Thomas Young et Augustin Fresnel théorisant un modèle ondulatoire pour la lumière puis James Clerk Maxwell et Hermann von Helmholtz qui démontrent le fait que la lumière est une onde électromagnétique et permettent ainsi de décrire les milieux et relier l'indice de réfraction aux propriétés de ces milieux, notamment grâce à la permittivité diélectrique.

Définition

Courbe de l'indice de réfraction du verre de silice, n est la partie réelle, k la partie imaginaire de l'indice de réfraction.

La définition la plus répandue pour l'indice de réfraction est qu'il est la quantité résultant du rapport entre la vitesse de la lumière c dans le vide, et la vitesse de phase v de la lumière dans ce milieu :

$n = \frac{c}{v}$

Cette définition, simple, permet d'observer que l'indice de réfraction est très dépendant du milieu et de ses caractéristiques - isotrope, homogène, ou pas - et de la longueur d'onde de la lumière que l'on considère. La dépendance de l'indice de réfraction à la longueur d'onde implique l'effet de dispersion qui est à l'origine de plusieurs phénomènes d'optique comme les arcs-en-ciel, la dispersion des prismes ou encore les aberrations chromatiques.

Cette définition possède plusieurs défauts. D'une part, du fait que la vitesse de la lumière dans le vide est une limite supérieure à la vitesse de la lumière, on pourrait en déduire que l'indice de réfraction ne peut pas être inférieur à 1, ce qui est faux. La vitesse considérée ici est une vitesse de phase, qui elle n'est pas limitée par la vitesse de la lumière, elle caractérise en effet la phase de l'onde et non l'onde elle-même - qui, elle, est limitée par la vitesse de la lumière dans le vide. D'autre part, du fait qu'il est un rapport de vitesse, on pourrait croire que l'indice de réfraction ne peut prendre que des valeurs réelles, ce qui est aussi faux.

Courbe de l'indice de réfraction du silicium, n est la partie réelle, k la partie imaginaire de l'indice de réfraction.

Une autre définition de l'indice de réfraction le lie à une autre caractéristique du milieu, la permittivité diélectrique ε :

$\frac{\epsilon}{\epsilon_0}=n^2$ où ε₀ est la permittivité diélectrique du vide.

Cette définition, valable pour les milieux non magnétiques, fait intervenir une caractéristique intrinsèque du milieu, qui permet de déterminer comment une onde lumineuse incidente va polariser le milieu considéré. La permittivité diélectrique est une grandeur réelle ou complexe et de ce fait, l'indice de réfraction peut avoir des valeurs complexes aussi. La partie complexe de l'indice de réfraction est liée à l'absorption du milieu et il existe ainsi un lien particulier entre la polarisation d'une onde lumineuse dans un milieu et l'atténuation de celui-ci.

Le coefficient d'absorption se déduit en effet de la partie imaginaire de l'indice de réfraction par la formule suivante :

$\alpha = \frac{4 \pi k}{\lambda}$

Origine physique de l'indice de réfraction

L'indice de réfraction peut être défini comme « la manifestation macroscopique de la réponse microscopique de la matière à une force périodique ». L'indice de réfraction résulte d'un phénomène microscopique de polarisation des atomes du fait de l'onde électromagnétique incidente.

Dans la théorie ondulatoire de la lumière, elle est décrite comme une onde électromagnétique, composée d'un champ magnétique et d'un champ électrique oscillants. Ces champs, en arrivant dans un milieu donné, vont polariser les atomes du milieu, les électrons oscillant à leur tour pour produire un nouveau champ électromagnétique. Celui-ci possède la même fréquence mais pas la même phase. L'onde se propage à une vitesse donnée mais sa vitesse de phase change.

Il est possible de redémontrer la formule de l'indice de réfraction à partir des équations de Maxwell dans un milieu homogène isotrope sans charges ni courants. Si l'on prend le rotationnel de l'équation de Maxwell-Faraday

$\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} + \vec{rot}\vec{E} = 0$

on obtient :

$\vec{rot}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} + \vec{rot}\,\vec{rot}\vec{E} = 0$

Puis, en appliquant le formule du rotationnel du rotationnel et l'équation de Maxwell-Gauss sous les hypothèses d'homogénéité et d'absence de charge, c'est à dire

$div \vec{E}=0$

on obtient :

$\vec{rot}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} - \Delta \vec{E} = 0$

D'autre part, l'équation de Maxwell-Ampère, sous l'hypothèse d'absence de courant et de milieu homogène, s'écrit :

$\vec{rot}\vec{B} = \epsilon \mu \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

En substituant cette dernière équation dans la précédente, on fait apparaître une équation d'onde :

$\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} - \frac{1}{\epsilon \mu} \, \Delta \vec{E} = 0$

dans laquelle la vitesse de phase est donnée par

$v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}$

D'après la définition de l'indice de réfraction donnée plus haut, et celle de la célérité de la lumière dans le vide

$c= \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}$

l'indice de réfraction s'exprime :

$n = \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\epsilon \mu}{\epsilon_0 \mu_0}}$

Soit en introduisant la permittivité relative $\epsilon_r = \epsilon / \epsilon_0$ et la perméabilité magnétique relative $\mu_r = \mu / \mu_0$

$n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$.

Variations de l'indice de réfraction

L'indice de réfraction est une grandeur caractérisant une interaction entre lumière et matière, ainsi elle est intrinsèquement dépendante des caractéristiques du milieu et de l'onde électromagnétique incidente.

L'indice d'un milieu dépend des paramètres qui caractérisent le milieu : température, pression, densité, etc. Les contraintes imposées à un matériau transparent modifient également son indice. La conséquence de cette contrainte est généralement l'apparition d'une biréfringence liée à l'anisotropie qui en résulte. Ceci est utilisé pour étudier certaines structures mécaniques^{[réf. nécessaire]}.

Dépendance à la longueur d'onde

Articles détaillés : dispersion, équation de Sellmeier et Loi de Cauchy (optique).

La valeur de l'indice dépend de la longueur d'onde du rayon lumineux incident. Ce phénomène appelé dispersion a été approché à l'aide de multiples formules empiriques mais il n'existe pas de formule précise permettant de déterminer l'indice en fonction de la longueur d'onde quel que soit le matériau.

La dispersion a pour effet que la réfraction est plus ou moins forte selon la longueur d'onde de la lumière, c'est ce qui provoque la décomposition de la lumière par un prisme mais aussi les aberrations chromatiques dans les instruments d'optique. Dans le premier cas le prisme ne réfracte pas toutes les couleurs de la lumière blanche au même angle, et la lumière qui sort est donc décomposée pour former le spectre visible. Dans le second cas, il s'agit du fait qu'un système optique est le plus souvent optimisé pour quelques longueurs d'onde particulières. Les pièces du système cependant dispersent la lumière et ainsi, le système ne sera pas parfaitement optimisé pour toutes les longueurs d'onde.

Etant donné cette dépendance, une convention répandue pour les milieu transparents dans le spectre visible veut que l'on donne l'indice de réfraction du milieu pour la longueur d'onde de la raie d du sodium (soit 587,56 nm), ou la raie e du mercure (à 546,07 nm).

La variation de l'indice de réfraction d'un milieu transparent dans le spectre visible est appelée dispersion ; elle est caractérisée par le coefficient de dispersion ou nombre d'Abbe :

$\nu_d = \frac{n_d - 1}{n_F - n_C}$

F et C désignant deux raies de l'hydrogène à respectivement 486,1 nm et 656,3 nm.

Plusieurs modèles de dispersion existent pour les milieux dans des domaines différents du spectre électromagnétique, notamment la formule de Cauchy : $n=A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}$ valable pour les matériaux dont les bandes d'absorption sont dans le domaine ultraviolet, la formule de Briot $n=-A' \lambda^2 + A + \frac{B}{\lambda^2} + \frac{C}{\lambda^4}$ pour les matériaux dont une bande d'absorption se trouve dans l'infrarouge et les autres dans l'ultraviolet (comme l'eau), et enfin la formule de Sellmeier $n^2=1 + \frac{B_1 \lambda^2}{\lambda^2 - C_1}+ \frac{B_2 \lambda^2}{\lambda^2 - C_2}+ \frac{B_3 \lambda^2}{\lambda^2 - C_3}$.

Ces lois empiriques déterminées grâce à des mesures très précises de la longueur d'onde s'appliquent aux milieux transparents dans le visible. Les modèles sont établis en considérant qu'étant loin des bandes d’absorption, il est possible de considérer l'indice comme réel (pas de facteur d'atténuation) et d'établir un développement limité de l'indice en fonction de la longueur d'onde. Ces formules sont précises en général à la cinquième décimale près.

La dispersion en fait est intrinsèquement liée au principe de l'indice de réfraction, qui résulte de la polarisation des électrons d'un milieu par une onde incidente. Chaque onde possédant une longueur d'onde donnée et donc une énergie donnée, va de ce fait polariser plus ou moins fortement les électrons. Le milieu réagit alors différemment selon la longueur d'onde incidente.

Dépendance à la température et la pression

L'indice de réfraction d'un gaz varie proportionnellement à sa masse volumique. Il suit la loi dite loi de Gladstone qui est :

$\frac {(n-1)}{m_V} = constante$.

Cette formule découle de la formule de Lorentz-Lorenz ou formule de Clausius-Mossotti, dont l'énoncé est $\frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}=\frac{1}{3} N \alpha$ où N est le nombre d'Avogadro en nombre de molécules par mole et α la polarisabilité du milieu ; cette formule, dans le cas où l'indice est très proche de 1 comme pour certains gaz, il est possible d'en déduire que $\frac {(n-1)}{m_V} = constante$ montrant une dépendance de l'indice de réfraction à la température et à la pression. La formule n'est valable que pour les gaz, mais les déductions quant à la dépendance de l'indice à la pression et la température peuvent s'étendre aux solides et aux liquides.

Biréfringence

Article détaillé : Biréfringence.

Certains matériaux n'ont pas un indice de réfraction isotrope : il dépend alors de la direction de propagation et l'état de polarisation de la lumière. Cette propriété porte le nom de biréfringence.

Indice de réfraction de l'air

L'indice de réfraction de l'air a fait l'objet de multiples études. Il est particulier en cela qu'il dépend de nombreux paramètres et a fait l'objet de multiples mesures et de formules dont la précision est très variable. La première estimation en laboratoire de l'indice de l'air est effectuée au XVIII^e siècle avec Isaac Newton qui en donne une valeur approximative^{[Laquelle ?]}, puis par Louis Arago et Biot en 1806.

La première véritable formule établissant l'indice de l'air est composée par H. Barrell et J. E. Sears en 1938. Nommée formule de Barrell et Sears, elle a la forme d'une formule de Cauchy à deux termes en λ^-2 et λ^-4. Désormais obsolète elle continue cependant d'être utilisée.

Deux formules très employées et plus récentes donnent une meilleures approximation de l'indice de l'air, celle de Philip E. Ciddor et celle d'Edlèn. Les formules prennent en compte plus ou moins de facteurs, notamment la présence de vapeur d'eau, de dioxyde de carbone et sont valables sur une étendue plus ou moins grande de longueurs d'onde.

La valeur de l'indice de réfraction de l'air est très importante dès lors qu'une étude porte sur l'atmosphère, ou peut être soumise à l'influence d'icelle.

L'indice de réfraction de l'air peut être mesuré de manière très précise grâce à des méthodes interférométriques, jusqu'à un ordre de 10^-7 ou moins.

Une formulation de l'indice de l'air, valable sous certaines conditions définies, fut approuvée par la Commission Conjointe pour la Spectroscopie (Joint Commission for Spectroscopy) à Rome en septembre 1952, comme suit :

$n_{\text{air}}(15^\circ C,p_0)=1+10^{-8} \left( 6432.8 + \frac{2949810 \mu m^{-2}\lambda^2}{146 \mu m^{-2}\lambda^2 -1} + \frac{25540 \mu m^{-2}\lambda^2}{41 \mu m^{-2}\lambda^2 -1}\right)$.

Cette formule est valable pour des longueurs d'onde allant de 0,2 µm à 1,35 µm dans de l'air sec contenant 0,03% de CO₂ par volume à 35 °C et 101 325 Pa (soient 760 Torr).

Milieux d'indice de réfraction « anormaux »

Articles détaillés : Réfraction négative et Ultra-réfraction.

Les métamatériaux à indice de réfraction négatif (en) sont un certain type de métamatériaux dans lesquels la réfraction produit une onde réfractée du même côté de la normale que l'onde incidente, assimilant l'indice de réfraction du milieu à un indice négatif. Il existe aussi un autre phénomène impliquant ces métamatériaux, l'ultraréfraction, où une onde se propageant dans le vide, incidente sur un milieu va être réfractée à un angle plus grand que l'angle d'incidence, assimilant l'indice de réfraction du milieu à un indice positif mais inférieur à 1.

Ces cas extrêmes ne sont pas observables dans la nature et sont le résultats d'expériences et de conception de matériaux très particuliers en laboratoire.

Indice de réfraction non-linéaire

Article détaillé : Optique non linéaire.

C'est avec l'apparition du laser que sont découverts les premiers effets non-linéaires en optique. L'indice de réfraction résultant d'une interaction entre la lumière et le milieu, celle-là provoquant une polarisation locale de celui-ci, en présence de fortes puissances incidentes, le régime de fonctionnement va s'éloigner de la linéarité. L'indice de réfraction devient alors dépendant de l'intensité de l'onde incidente : $n = n_0 + \gamma I$ où n₀ est l'indice de réfraction linéaire, valable pour les intensités moyennes et faibles et γ est le coefficient d'indice non linéaire.

La modification de l'indice de réfraction avec l'intensité du champ électrique est souvent nommé effet Kerr optique par analogie avec l'effet Kerr électro-optique où la modification de l'indice est proportionnelle à la puissance du champ électrostatique appliqué au milieu. Il est possible de trouver une expression de l'indice de réfraction non linéaire en observant la polarisabilité d'un matériau sachant que $n = n_0 + \gamma \langle \vec{E}^2(\omega,t) \rangle = n_0 + 2\gamma |E(\omega)|^2$. La polarisation totale, linéaire et non linéaire, du milieu se décrit ainsi :

$P(\omega)=\epsilon_0 \chi^{(1)}E(\omega) + 3\epsilon_0 \chi^{(3)}|E(\omega)|^2E(\omega) \equiv \epsilon_0 \chi_{eff} E(\omega)$,

où P est la polarisation, χ le tenseur de susceptibilité magnétique dont la partie non linéaire est le tenseur χ⁽³⁾, E le champ électrique, et ε₀ la perméabilité magnétique. Comme $\chi_{eff} = \chi^{(1)} + 3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2$ et $n^2 = 1 + \chi_{eff}$ on déduit :

$\left(n_0 + 2\gamma |E(\omega)|^2\right)^2 = 1 + \chi^{(1)} + 3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2$

Or dans le domaine linéaire, l'indice de réfraction peut s'écrire $n = \sqrt{1+\chi}$, soit ici $n_0^2 = 1+\chi^{(1)}$. On en déduit :

$\begin{align} 4n_0 \gamma |E(\omega)|^2 + 4\gamma^2 |E(\omega)|^4 \approx 4n_0 \gamma |E(\omega)|^2 &= 3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2 \\ \gamma &= \frac{ 3\chi^{(3)} }{4n_0} \end{align}$.

Les phénomènes résultants de la dépendance de l'indice de réfraction à l'intensité lumineuse sont entre autres l'autofocalisation (en), l'automodulation de phase, la conjugaison de phase et la génération de solitons optiques.

Ces problèmes très complexes d'optique non linéaire se limitent cependant aux milieux soumis à des ondes lumineuses d'intensité très fortes et aux caractéristiques intrinsèques favorables à la non-linéarité.

Mesure de l'indice de réfraction

Schéma de principe d'un réfractomètre.

Un réfractomètre.

La mesure de l'indice de réfraction se fait de multiples manières. On utilise souvent un réfractomètre, qui est un type d'interféromètre dont un « bras » est plongé dans le vide et un autre dans le matériau à mesurer, par exemple.

Notes et références

• Références

• Notes

Bibliographie

• Harris Benson, Physique : 3, Ondes, optique et physique moderne, De Boeck, coll. « De Boeck Supérieur », juin 2009, 4^e éd., 544 p. (ISBN 978-2-8041-0763-5) [lire en ligne] 
• Tamer Bécherrawy, Optique géométrique, De Boeck, coll. « De Boeck Supérieur », décembre 2005, 404 p. (ISBN 2-8041-4912-9) [lire en ligne] 
• Tobin William (trad. James Lequeux), Léon Foucault : le miroir et le pendule, EDP Sciences, coll. « Sciences et Histoire », 2002, 354 p. (ISBN 2-86883-615-1) [lire en ligne] 
• Douglas C. Giancoli (trad. François Gobeil), Physique générale 3 : Ondes, optique et physique moderne, De Boeck, mai 1993, 504 p. (ISBN 2-8041-1702-2) [lire en ligne] 
• Richard Taillet, Optique physique : Propagation de la lumière, De Boeck, août 2006, 323 p. (ISBN 2-8041-5036-4) [lire en ligne] 
• Germain Chartier, Manuel d'optique, Paris, Hermès, 1997 (ISBN 2-86601-634-3) 
• (en) Max Born et Emil Wolf, Principles of optics : Electromagnetic theory of propagation interference and diffraction of light, Pergamon Press, 1993, 6^e éd. (ISBN 0-08-026482-4 et 0-08-026481-6) 
• James L. Barton et Claude Guillemet, Le verre, science et technologie, EDP Sciences, 2005, 440 p. (ISBN 2-86883-789-1) [lire en ligne] 
• (en) Optical Society of America, Handbook of optics, vol. I à V, McGraw-Hill Professional, novembre 2009, 3^e éd., 5600 p. (ISBN 978-0-07-170160-0) [lire en ligne] 
• (en) Robert W. Boyd, Nonlinear Optics, Academic Press, mai 2008, 3^e éd., 640 p. (ISBN 978-0-12-369470-6) [lire en ligne] 

Voir aussi

Articles connexes

• Indice normalisé
• Réfractométrie
• Biréfringence
• Lois de Snell-Descartes
• Réfraction
• Dioptre
• Chemin optique
• Principe de Fermat
• Optique géométrique
• Liste d'indices de réfraction

Liens externes

• (en) Association Internationale pour les propriétés de l'eau et de la vapeur
• (en) Base de données sur les indices de réfraction
• (en) Autre base de données sur les indices de réfraction
• (fr) Indices de réfraction de quelques polymères