Tangente hyperbolique

Graphe de la fonction tangente hyperbolique sur une partie de R

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh ou th est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix}\tanh:&\C\setminus i\pi(\Z+\frac12)&\longrightarrow&\C\\&z&\longmapsto&\frac{\sinh(z)}{\cosh(z)}\end{matrix}$

où $\sinh$ est la fonction sinus hyperbolique et $\cosh$ la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus, et d'ailleurs, on a (pour tous les z du domaine de définition) $\tanh(z)=i.\tan(iz)$, ou encore $\tan(z)=-i.\tanh(iz)$.

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

$\tanh(z)=\frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = \frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}$.

Propriétés

Propriétés générales

• tanh est continue et infiniment dérivable.
• C'est une fonction impaire.
• La dérivée de tanh est $\frac {1} {\cosh^2}$, soit $1 - \tanh^2$.
• La primitive de tanh est $\ln \left(\cosh \right) + C$, à une constante d'intégration C près.
• La restriction de tanh à $\mathbb R$ est impaire et strictement croissante. Il s'agit d'une bijection de $\mathbb R$ dans $\left] -1; 1 \right[$.
• tanh est une solution de l'équation différentielle $\frac {1}{2} f'' = f^3 -f$.

Développement en série de Taylor

tanh est infiniment dérivable :

$\tanh^{(n)}(0)=\sum_{k=0}^{n-1} \left(-1\right)^k \left \langle {n\atop k} \right \rangle$

où $\left \langle {n\atop k} \right \rangle$ est le nombre de permutations de $\{1,..., n\}$ dans lesquelles k éléments exactement sont plus grands que l'élément précédent (nombres eulériens).

tanh possède donc un développement en série de Taylor en tout point :

$\tanh z = z - \frac {z^3} {3} + \frac {2 z^5} {15} - \frac {17 z^7} {315} + \frac {62 z^9} {2835}+ \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {\tanh^{(2n+1)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}$.

Développement en fraction continue

La restriction de tanh à $\mathbb R$ admet un développement en fraction continue :

$\tanh x=\frac {x} {1+\displaystyle\frac {x^2} {3+\displaystyle\frac {x^2} {5+\cdots} } }$

Valeurs

Quelques valeurs de tanh :

• $\tanh(0) = 0 \,$
• $\tanh(1) = \frac {e^2-1} {e^2+1}$
• $\tanh({\rm i}) = {\rm i} \tan(1) \,$

Fonction réciproque

tanh admet une bijection réciproque (dans des intervalles réels convenables), et plus généralement une réciproque multivaluée, notée artanh (ou argtanh ou argth ou encore parfois tanh^-1). Il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments $\left]-\infty ;-1\right[$ et $\left]1;+\infty \right[$.

$\operatorname{artanh}(z) = \frac12\left( \ln(1+z)-\ln(1-z) \right)$

Pour $x \in \left]-1;1 \right[$, la restriction de tanh à ℝ admet une réciproque : $\operatorname{artanh}(x)=\frac12\ln\left( \frac {1+x} {1-x} \right)$.

Voir aussi

• Fonction hyperbolique
• Cosinus hyperbolique
• Sinus hyperbolique