Théorème de Pascal

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Il existe plusieurs théorèmes appelés théorème de Pascal.

Géométrie[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pascal[1] est un théorème de géométrie projective.

Nous travaillons donc dans un plan projectif sur un corps commutatif quelconque K.

Théorème de Pascal (direct et réciproque)[modifier | modifier le code]

Il y a équivalence entre les deux propositions suivantes concernant un hexagone d'un plan projectif
  • (i) L'hexagone est inscrit dans une conique
  • (ii) Les intersections des paires de côtés opposés sont alignées (voir (*) ci-dessous).

(*) Si 2 côtés opposés sont confondus, leur intersection n'est évidemment pas unique. Le théorème s'interprète alors par exemple en écrivant la seconde condition sous la forme : « Il existe une droite contenant 3 points appartenant aux intersections respectives des paires de côtés opposés ». Cependant cette disposition ne peut exister dans le cas d'une conique propre puisque l'intersection d'une telle conique et d'une droite comporte au plus 2 points.

M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6 désignant les 6 sommets de l'hexagone, les paires de côtés opposés sont \{M_1M_2,M_4M_5\},\ \{M_2M_3,M_5M_6\},\ \{M_3M_4,M_6M_1\}. Ces intersections sont respectivement A,B,C

(i) \Rightarrow (ii) :

Il résulte des propriétés des homographies sur une conique que le birapport du faisceau de droites SM_2,\ SM_4,\ SM_5,\ SM_6 est indépendant du point S pris sur la conique. Par suite on a l'égalité des birapports de droites concourantes :

[M_1M_2, \ M_1M_4, \ M_1M_5, \ M_1M_6]=[M_3M_2, \ M_3M_4, \ M_3M_5, \ M_3M_6]

En considérant respectivement les intersections de ces 2 faisceaux par les droites  M_4M_5 \ et \ M_5M_6 on en déduit l'égalité des birapports de points alignés :

[A, M_4, M_5, P] \ = \ [B, Q, M_5, M_6] (1)

Les droites M_4Q \ et \ PM_6 se coupent en C. La projection de sommet C de la droite  M_4M_5 sur  M_5M_6 transforme M_4 en Q, P en M_6 et laisse M_5 invariant. Cette projection transforme A en un point B' de la droite M_5M_6 tel que

[A, M_4, M_5, P] \ = \ [B', Q, M_5, M_6] (2) puisque cette projection est une application projective et conserve donc les birapports. Les 2 égalités (1) et (2) entraînent [B, Q, M_5, M_6] \ = \ [B', Q, M_5, M_6] et donc B=B'. Ainsi B est l'image de A dans cette projection de sommet C, ce qui montre bien l'alignement de A, B, C.

(ii) \Rightarrow (i) :

Par hypothèse on a une projection de sommet C de la droite  M_4M_5 sur  M_5M_6 qui transforme M_4 en Q, P en M_6 , laisse M_5 invariant et transforme A en B. Il en résulte l'égalité des birapports : [A, M_4, M_5, P] \ = \ [B, Q, M_5, M_6] et par suite celle des birapports de faisceaux : [M_1M_2, \ M_1M_4, \ M_1M_5, \ M_1M_6]=[M_3M_2, \ M_3M_4, \ M_3M_5, \ M_3M_6].

Là encore les propriétés des homographies sur une conique montrent que les 6 points M_1, M_2, M_3, M_4, M_5, M_6 appartiennent à une même conique.

Théorème de Pappus-Pascal[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pappus est un cas particulier du théorème (direct) de Pascal, lorsque la conique est dégénérée en 2 droites distinctes D et D'. De plus, pour obtenir un résultat non trivial (vérification immédiate), on suppose que les 2 sommets de chaque côté appartiennent à des droites D, D' distinctes.

On peut remarquer en reprenant la démonstration dans ce cas que les résultats généraux d'homographie sur une conique ne sont pas réellement utilisés. Les théorèmes invoqués sont plus simplement ceux concernant les divisions de points alignés et les faisceaux de droites.

Théorème de Pascal (2)[modifier | modifier le code]

Théorème de Pascal
Étant donné un hexagone inscrit dans un cercle, les intersections des côtés opposés sont alignées.

On veut prouver l'alignement de M,N,P ; on utilisera donc le théorème de Ménélaüs. Un triangle envisageable pour ce théorème est obtenu avec les droites (BC),(DE),(FA) qui donnent les points I,J,K (un autre celui construit avec (AB),(CD),(EF)). Les côtés non utilisés de l'hexagone fournissent des points alignés avec M,N,P, d'où des utilisations possibles de Menelaüs qui traduisent en fait la façon dont la figure est construite. Il suffit alors d'utiliser le fait que tous ces points sont sur un même cercle, ce qui justifie l'utilisation de la puissance d'un point.

THPascal.svg

On veut donc calculer \prod=
\frac{\overline{MI}}{\overline{MJ}}\,\frac{\overline{PJ}}{\overline{PK}
}\,\frac{\overline{NK}}{\overline{NI} }.

En utilisant le théorème de Ménélaüs dans le triangle IJK et le fait que M,A,B soient alignés on tire \frac{\overline{MI}}{\overline{MJ}}\,\frac{\overline{BJ}}{\overline{BK}}\,\frac{\overline{AK}}{\overline{AI}
}=1

d'où \frac{\overline{MI}}{\overline{MJ}}=\frac{\overline{BK}}{\overline{BJ}}\,\frac{\overline{AI}}{\overline{AK}}. On a également des relations similaires en écrivant que N,D,C et P,E,F sont alignés. Tout ceci donne \prod=\Big(\frac{\overline{BK}}{\overline{BJ}}\,\frac{\overline{AI}}{\overline{AK}}\Big)
\Big(\frac{\overline{EJ}}{\overline{EJ}}\,\frac{\overline{FI}}{\overline{FK}}\Big)
\Big(\frac{\overline{CK}}{\overline{CJ}}\,\frac{\overline{DJ}}{\overline{DI}}\Big).

En utilisant la puissance de I,J,K par rapport au cercle, on tire \overline{BK}\,\overline{CK}=\overline{AK}\,\overline{FK}, \overline{AI}\,\overline{FI}=\overline{EI}\,\overline{DI} et finalement \overline{EJ}\,\overline{DJ}=\overline{BJ}\,\overline{CJ} si bien que \prod=1.

La droite que forme cet alignement est appelée droite de Pascal. La figure obtenue par la construction est appelée « hexagramme de Pascal ».

Nota bene : tout dépend du système d'axiomes choisis, mais les points d'intersection de deux droites existent toujours si on adopte les axiomes de la géométrie projective qui ignore le parallélisme.

En prenant la polaire de cet énoncé par rapport au cercle lui-même, nous obtenons l'énoncé dit « dual » du précédent

Énoncé initial Énoncé « polarisé »
six points six tangentes
point d'intersection droite joignant
côté opposé sommet opposé
aligné concourante
Théorème de Brianchon
Étant donné un hexagone circonscrit à un cercle, les diagonales sont concourantes.

Ci-dessous le dessin dual du précédent. Les points ont été remplacés par les tangentes correspondantes ; le point de concours est le pôle de la droite précédente, ce qui est mis en évidence avec la tangente au cercle issue du projeté sur la droite du centre du cercle (en pointillé).

THBranchion.svg

Prenant maintenant la polaire de ces deux énoncés par rapport à un cercle quelconque nous obtenons que ces deux énoncés restent valables sur une conique quelconque au lieu d'un cercle.

Ci-dessous le théorème de Pascal pour une hyperbole dans une situation « croisée » : non seulement l'hexagone n'est pas convexe, mais les côtés se croisent.

PascalHyperbolique.svg

La réciproque de ce théorème est vraie également : si les trois points A, B, C d'intersection des côtés opposés de l'hexagone sont alignés alors l'hexagone est inscrit dans une conique.

Nota bene : dans son texte d'essai, Pascal mentionne cette propriété comme un petit lemme secondaire, on peut supposer qu'il n'avait pas perçu l'aspect fondamental de ce théorème qui est l'un des principaux de la géométrie projective.

Réciproque du théorème de Pascal[modifier | modifier le code]

Le théorème de Branchion admet une réciproque qui permet de définir les coniques d'une façon purement formelle en géométrie projective formelle.

Nous en proposons une totalement analytique.

On se donne six points A,B,C,A',B',C'.

On prend comme repère A,B,C. Une conique passant par A,B,C admet une équation de la forme

(1)\qquad aX(X-1)+2bXY+cY(Y-1)=0.

On note \alpha,\alpha' les coordonnées de A' (etc).

(AB)\cap(B'C')=M a pour ordonnée  \frac{\beta\gamma'-\gamma\beta'}{ \beta-\gamma} ;

(AC)\cap(A'B')=N a pour abscisse  \frac{\alpha\beta'-\alpha'\beta}{ \beta'-\alpha'}.

Au lieu de calculer les coordonnées de (CC')\cap(BA') et de vérifier l'alignement nous dirons que les trois droites (MN), (CC'), et (BA') sont concourantes.

Équation de (CC') : \quad(\gamma-1)Y=\gamma'(X-1) ;

Équation de (BA') : \,\quad\alpha Y=(\alpha'-1)X+\alpha ;

Équation de (MN) :

\quad \begin{vmatrix}
\frac{\alpha\beta'-\alpha'\beta}{ \beta'-\alpha'}&0   &X                \\
0                        &\frac{\beta\gamma'-\gamma\beta'}{ \beta-\gamma}&Y  \\
1                        &1                      &  1
\end{vmatrix}=0=\begin{vmatrix}
\alpha\beta'-\alpha'\beta&  0          & X  \\
0           & \beta\gamma'-\gamma\beta'& Y  \\
\beta'-\alpha'    &  \beta-\gamma     &  1
\end{vmatrix}

Le concours des droites se traduit par la nullité du déterminant

D_1=\begin{vmatrix}
-\gamma' &   1-\alpha'& (\beta'-\alpha')(\beta\gamma'-\gamma\beta')\\
\gamma-1  &  \alpha   & -(\beta-\gamma)(\alpha\beta'-\alpha'\beta)   \\
\gamma'    &-\alpha   &  (\beta\gamma'-\gamma\beta)'(\alpha\beta'-\alpha'\beta)
\end{vmatrix}

Maintenant, le fait que les points A',B',C' soient sur la conique d'équation (1) se traduit par un système de trois équations (une par point) d'inconnues a, b, c et qui admet une solution non triviale. Ceci se traduit par la nullité du déterminant

D_2=\begin{vmatrix}
\alpha(\alpha-1) & \alpha\alpha' &\alpha'(\alpha'-1)\\
\beta(\beta-1) & \beta\beta' &\beta'(\beta'-1)\\
\gamma(\gamma-1) & \gamma\gamma' &\gamma'(\gamma'-1)
\end{vmatrix}

Ces deux déterminants sont égaux.

On peut bien sûr les calculer par la méthode de Sarrus, mais on peut aussi observer que dans D_2, le terme \alpha\alpha' (etc) n'apparaît que dans la deuxième colonne son facteur valant

\begin{vmatrix}
\beta(\beta-1) &\beta'(\beta'-1)\\
\gamma(\gamma-1) &\gamma'(\gamma'-1)
\end{vmatrix}

Nous calculons ce facteur dans D_1 en utilisant la deuxième colonne :

  • \quad(\gamma-1)\beta'(\beta\gamma'-\gamma\beta')+\gamma'\beta'(\beta-\gamma) pour la première ligne ;
  • \quad\gamma'(\beta\gamma'-\gamma\beta')\beta+\gamma'(\beta\gamma'-\gamma\beta') pour la deuxième ;
  • \quad\gamma'\beta(\beta-\gamma)+(\gamma-1)(\beta\gamma'-\gamma'\beta) pour la troisième.

La somme donne la même expression que dans D_2.

En échangeant \alpha' et \gamma, \beta,\beta' et \alpha,\gamma' les déterminants ne changent pas ce qui permet d'affirmer l'égalité des coefficients de \gamma\gamma'.

Reste celui de \beta\beta', qui vaut

\gamma'\begin{vmatrix}\gamma-1&\alpha\\\gamma'&-\alpha\end{vmatrix}
+\alpha\begin{vmatrix}\gamma'&1-\alpha'\\\gamma'&-\alpha\end{vmatrix}
+(\alpha\gamma'+\alpha'\gamma)\begin{vmatrix}-\gamma'&1-\alpha'\\\gamma-1&-\alpha\end{vmatrix}
;

soit finalement le même que dans D_1 une fois effectué le petit calcul.

Mécanique des fluides[modifier | modifier le code]

En mécanique des fluides, le théorème de Pascal s'énonce comme suit[2] :

Les fluides incompressibles transmettent intégralement et dans toutes les directions, les pressions qui leur sont appliquées.

Les propriétés d'un fluide incompressible sont donc isotropes.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Pour de plus amples informations et de très nombreuses constructions géométriques, cf site cabri.imag. On trouvera également sur cette page une autre démonstration n'utilisant pas la transformée par polaires réciproques, mais l'écriture barycentrique d'une conique. Le résultat s'obtient alors par annulation d'un déterminant.
  2. Pour une démonstration, on pourra se reporter par exemple à la page de Sciences.ch.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Plan projectif arguésien

Lien externe[modifier | modifier le code]

Une démonstration du théorème de Pascal dans le cas général à l'aide des coordonnées barycentriques sur Math Web