Par définition, le problème de la construction de l'heptadécagone régulier revient à chercher les racines complexes du polynôme
![{\displaystyle {\frac {x^{17}-1}{x-1}}=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4904009655ebb73a33e4d205d8be75f6e18e6dca)
On note α = 2π/17, puis on pose ω17 = exp(iα), et ωk = ωk
17, pour k entre 1 et 16, qui sont donc les racines recherchées.
On va construire des sommes de ces racines à partir de périodes qui forment les racines de polynômes du second degré[1]. On considère le tableau suivant, qui donne la valeur de, pour m entre 0 et 15, de 3m modulo 17 :
{{| class="wikitable centre"
|-
! scope="row" |
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
| 10
| 11
| 12
| 13
| 14
| 15
|-
! scope="row" |
| 1
| 3
| 9
| 10
| 13
| 5
| 15
| 11
| 16
| 14
| 8
| 7
| 4
| 12
| 2
| 6
|-
|}}
On utilise la congruence modulo 3 car 3 est une racine primitive de 17.
On pose donc les sommes :
![{\displaystyle X_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {pair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{9}+\omega _{13}+\omega _{15}+\omega _{16}+\omega _{8}+\omega _{4}+\omega _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4c8485855fafe916b01829cf99b5ed0b957139)
![{\displaystyle X_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m{\textrm {impair}}}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{10}+\omega _{5}+\omega _{11}+\omega _{14}+\omega _{7}+\omega _{12}+\omega _{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5b35e52322ddd134737a0ceb039a40c9e2e4ae)
![{\displaystyle Y_{1}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 0\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{1}+\omega _{13}+\omega _{16}+\omega _{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bec77c9d10ed6480b9692dcde0f1a6e9cfb6d0)
![{\displaystyle Y_{2}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 2\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{9}+\omega _{15}+\omega _{8}+\omega _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d8b14e97bfb805e967fb54a87eedda9e09b034)
![{\displaystyle Y_{3}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 1\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{3}+\omega _{5}+\omega _{14}+\omega _{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ad75edf1b27ba792f3fa231b3a5303bb37f42a)
![{\displaystyle Y_{4}=\sum _{m\in 1,\ldots ,16 \atop m\equiv 3\mod 4}\theta _{\vartheta (m)}=\omega _{10}+\omega _{11}+\omega _{7}+\omega _{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ff46e74cb0dac68a724cbd6a283bad9908ed07)
Par les propriétés de symétrie, on peut observer que :
![{\displaystyle X_{1}=2(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha ),\ X_{2}=2(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab37a205daaf1f461d0aa1e67dc5acf2e67a9a4)
![{\displaystyle Y_{1}=2(\cos \alpha +\cos 4\alpha ),\ Y_{2}=2(\cos 8\alpha +\cos 2\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb272f9e70bff97ebbd62cb964bffd57ad83b5b4)
![{\displaystyle Y_{3}=2(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha ),\ Y_{4}=2(\cos 7\alpha +\cos 6\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965e3ad8883f592f08dd9a7001e6fda2e86ce434)
On peut remarquer, par les identités trigonométriques usuelles, que :
![{\displaystyle X_{1}+X_{2}=\sum _{k=1}^{16}\omega _{k}=\sum _{k=1}^{8}2\cos k\alpha =-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0da4f4248f2177fcd6b37302ff7aab13978a26e)
![{\displaystyle {\begin{array}{ccl}X_{1}X_{2}&=&4(\cos \alpha +\cos 8\alpha +\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 7\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha )\\&=&4(\cos \alpha \cos 3\alpha +\cos \alpha \cos 7\alpha +\cos \alpha \cos 5\alpha +\cos \alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 8\alpha \cos 3\alpha +\cos 8\alpha \cos 7\alpha +\cos 8\alpha \cos 5\alpha +\cos 8\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 4\alpha \cos 3\alpha +\cos 4\alpha \cos 7\alpha +\cos 4\alpha \cos 5\alpha +\cos 4\alpha \cos 6\alpha \\&&+\cos 2\alpha \cos 3\alpha +\cos 2\alpha \cos 7\alpha +\cos 2\alpha \cos 5\alpha +\cos 2\alpha \cos 6\alpha )\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 11\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 15\alpha +\cos \alpha )+(\cos 13\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 14\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 11\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 9\alpha +\cos \alpha )+(\cos 10\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 9\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&2[(\cos 4\alpha +\cos 2\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 6\alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 4\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 5\alpha )\\&&+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 2\alpha +\cos \alpha )+(\cos 4\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 3\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 7\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos \alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 2\alpha )\\&&+(\cos 5\alpha +\cos \alpha )+(\cos 6\alpha +\cos 5\alpha )+(\cos 7\alpha +\cos 3\alpha )+(\cos 8\alpha +\cos 4\alpha )]\\&=&8\sum _{k=1}^{8}\cos k\alpha \\&=&-4.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6909af61f67d3ab308e9052c2685acf7c3db24cb)
Ainsi, X1 et X2 sont les deux racines de X2 + X – 4 = 0, et une étude rapide de signe montre que X1 est la racine positive, et X1 > X2.
De même, on peut montrer que Y1 et Y2 sont les deux racines de Y2 + X1Y – 1 = 0, avec Y1 > Y2, et que Y3 et Y4 sont les deux racines de Y2 + X2Y – 1 = 0, avec Y3 > Y4.
Enfin, on peut vérifier que z1 = 2 cos α = ω1
17 + ω16
17 et z2 = 2 cos 4α = ω4
17 + ω13
17 sont les deux racines de Z2 – Y1Z + Y3 = 0, avec z1 > z2.
Il suffit dès lors de résoudre les équations du second degré et de ne retenir que les racines adéquates pour obtenir le résultat voulu.