Analyse dimensionnelle

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L'analyse dimensionnelle est un outil pratique permettant de vérifier l'homogénéité d'une formule physique à travers ses équations aux dimensions.

C'est également est un outil théorique, servant à interpréter les problèmes à partir des dimensions des grandeurs physiques mises en jeu, c'est-à-dire de leur nature intrinsèque : longueur, durée, masse, intensité électrique, etc. L'analyse dimensionnelle est à la base des systèmes d'unités naturelles.

L'analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que des grandeurs ayant la même dimension ; en effet, il est possible de comparer deux longueurs entre elles, mais pas une longueur et une masse par exemple. Intuitivement, il est clair qu'une loi physique ne saurait changer, hormis dans la valeur numérique de ses constantes, au simple motif qu'on l'exprime dans d'autres unités. Mathématiquement, cette assertion est validée par le théorème de Vaschy-Buckingham.

L'analyse dimensionnelle est utilisée particulièrement en physique (fondamentale et appliquée), elle permet notamment de vérifier a priori la viabilité d'une équation ou du résultat d'un calcul et elle est utile pour formuler des hypothèses simples sur les grandeurs qui gouvernent l'état d'un système physique, avant qu'une théorie plus complète ne vienne valider ces hypothèses. La célèbre équation E = m c2 est par exemple parfaitement homogène et invariante par changement d'unités; mais cette homogénéité ne suffisait pas pour autant à la pressentir.

Étalons, unités et équation aux dimensions[modifier | modifier le code]

Introduction[modifier | modifier le code]

Dans une formule physique, les nombres présents ne sont pas « que » des nombres.

Une grandeur physique est un paramètre mesurable qui sert à définir un état, un objet. Par exemple, la longueur, la température, l'énergie, la vitesse, la pression, une force (par exemple le poids), l'inertie (masse), la quantité de matière (nombre de moles)… sont des grandeurs. Une mesure physique vise alors à exprimer la valeur de cette grandeur physique par son rapport avec une grandeur constante de même espèce prise comme unité de mesure de référence (étalon ou unité).

On exprime alors la grandeur par un nombre rationnel multipliant l'unité de mesure. De ce fait, les opérations entre grandeurs physiques ne portent pas que sur les nombres, mais également sur les unités. Ces unités présentes dans les formules physiques imposent des contraintes fortes à la forme que peuvent prendre ces formules, parce que certaines opérations possibles sur de simples nombres deviennent impossibles quand ces nombres sont associés à des unités. Ces contraintes sont celles qui font qu'une formule physique est qualifiée d'« homogène » :

  • La multiplication (et la division) est possible entre toutes unités, ou avec des constantes sans dimension, mais :
  • L'addition (et la soustraction) n'a de sens qu'entre unités de même nature ;
  • Dans le cas général, une fonction mathématique (comme le sinus ou l'exponentielle) ne peut porter que sur des nombres « purs », sans dimension (le cas des racines étant plus complexe, et sans intérêt ici).

Unités de même nature[modifier | modifier le code]

Si l'addition n'a de sens qu'entre unités de même « nature », elle reste possible entre mesures physiques faites dans des unités différentes, à condition toutefois de les ramener à une unité commune. Il est par exemple possible d'ajouter deux durées, l'une de deux heure et l'autre de dix minutes, bien que les deux unités soient différentes. Mais dans ce cas, le résultat n'est évidemment pas « deux plus dix égale douze », retenant les nombres pour ignorer les unités. Il faut d'abord traduire que une heure correspond à soixante minutes, et donc que :

Une mesure physique étant un nombre associé à une unité, on a bien d'un côté deux nombres associés à des unités (différentes), et de l'autre le résultat, un nombre associé à une unité. Dans la mesure où les grandeurs physiques peuvent légitimement se multiplier ou se diviser entre elles, on peut aussi les manipuler formellement comme des constantes littérales, et réécrire la transformation précédente de la manière suivante :

Sous cette forme, on voit que la réécriture de l'expression physique en « un nombre associé à une unité » fait apparaître du côté du nombre le rapport « h/min », qui est le facteur de conversion entre heures et minutes. Tout le monde sait naturellement que ce nombre vaut 60 (il y a soixante minutes dans une heure), mais le point important ici est que ce nombre est à présent un nombre pur, sans unité. Ce n'est possible que parce que fondamentalement, l'heure et la minute décrivent toutes les deux une durée, c'est à dire la même grandeur physique.

La « nature » et l'unité[modifier | modifier le code]

Il faut se rappeler ici ce qu'est exactement une « unité de mesure » : une mesure physique vise à exprimer la valeur d'une grandeur physique par son rapport avec une grandeur constante de même espèce. Si donc l'« heure » est une unité de mesure du temps, c'est parce que l'on peut comparer des grandeurs temporelles avec la grandeur particulière qu'est « une heure » : toute mesure physique ne fait qu'évaluer un rapport entre deux grandeurs de même nature.

Ces unités de mesure sont elle-mêmes des grandeurs physiques mesurables, donc un nombre associé à une unité, et prendre « une heure » ou « une minute » comme référence est fondamentalement un choix arbitraire. Le caractère arbitraire de ce choix peut être frustrant, parce qu'il ne permet pas de capturer ce qu'est la « nature » d'une unité : bien qu'une mesure soit un nombre associé à une unité (laquelle donne donc à cette mesure sa nature), on ne peut en réalité que faire des rapports, et accéder à des nombres sans dimension.

L'idée d'un système d'unités naturelles répond à cette idée d'éliminer la part d'arbitraire dans la mesure : s'il existe une unité naturelle « T » susceptible de servir de référence universelle pour mesurer le temps, alors l'heure et la minute peuvent être objectivement décrites comme des grandeurs mesurées, la minute faisant n.T, et l'heure faisant soixante fois n.T. Si l'unité est naturelle, on peut alors considérer que « T » concentre l'essence de cette grandeur et en est la nature même, ce qui fait qu'un nombre change sa nature et devient une mesure physique : l'unité arbitraire que l'on utilise au quotidien est ainsi dissociée en une grandeur physique essentielle, qui lui donne sa « nature », et un facteur de conversion propre à cette unité.

Formules physiques et grandeurs[modifier | modifier le code]

Indépendamment de ce que doit être la valeur d'une unité naturelle, on peut considérer dans cette optique qu'une expression physique traduit des opérations sur des objets complexes, associant un nombre, une unité, et un facteur de conversion.

  • Il y a les opérations numériques effectuées sur des nombres, sur lesquelles se concentrent les praticiens utilisateurs de la formule. C'est ce qui fait l'intérêt pratique de la formule.
  • Il y a d'autre part des opérations simultanées sur des grandeurs, qui représentent la « nature » des mesures physiques impliquées — et ceci, indépendamment du choix d'une unité ; c'est ce sur quoi se concentre le théoricien lorsqu'il examine l'« équation aux dimensions ».
  • Il y a enfin des opérations sur les facteurs de conversions qui découlent du choix d'un système d'unités potentiellement arbitraires. C'est ce qu'il faut examiner quand on passe d'un système d'unités à un autre. Dans une formule physique, ce choix ne se traduit jamais, en réalité, que par un facteur de conversion sans dimension (donc, ne changeant pas la « nature » de l'expression). Et comme ce facteur ne fait que refléter un choix arbitraire, on s'arrange dans les systèmes bien conçus (comme le système métrique) pour choisir les unités de manière à ce que le facteur de conversion soit généralement « un », et disparaisse de la formule.

L’équation aux dimensions d'une formule physique est la formule qui permet de déterminer la dimension dans laquelle doit être exprimé le résultat d'une formule physique, indépendamment des nombres résultant des mesures. C'est une « équation de grandeurs », qui a la même forme que la formule physique initiale, mais où ne sont pris en compte ni les nombres, ni les facteurs de conversion : uniquement les grandeurs. On y représente les phénomènes mesurés par un symbole ; par exemple, un temps y est représenté par la lettre « T », une longueur est représentée par la lettre « L ».

Grandeur de base[modifier | modifier le code]

Les différentes équations physiques relient entre elles des grandeurs physiques, donc des nombres et des unités, et potentiellement des facteurs de conversion dépendant du choix de ces unités. Ainsi, par exemple, une formule physique de cinématique nous dit que la vitesse (quand elle est constante) se mesure comme la longueur parcourue divisée par le temps de parcours. Ceci étant, si on mesure la longueur en lieues, le temps en heures, et la vitesse en nœuds, la formule devra en plus comporter un facteur de conversion. Inversement, connaissant cette formule, et étant données des unités de temps et de longueur (la seconde et le mètre, dans le système métrique), on peut choisir l'unité de vitesse de manière à ce qu'il n'y ait pas de facteur de conversion : cette unité « dérivée » est alors le mètre par seconde dans le système métrique.

D'une manière générale il est possible d'exprimer de proche en proche la dimension de toutes les grandeurs physiques en fonction de sept dimensions de base. Les notations suivantes sont largement répandues[1] :

Grandeurs de base et dimensions du SI
Grandeur de base Symbole
de la dimension
Longueur
Masse
Temps ou durée
Intensité électrique
Température thermodynamique
Quantité de matière
Intensité lumineuse

On aurait pu choisir sept autres grandeurs de référence, par exemple définir la vitesse comme grandeur de base et définir l'étalon-longueur en fonction de l'étalon-vitesse et de l'étalon-temps (c'est ce qui est d'ailleurs fait implicitement, l'étalon-vitesse étant la vitesse de la lumière dans le vide) ; le choix de ces sept grandeurs est une construction historique, les grandeurs ont été choisies depuis le XVIIIe siècle en fonction des besoins et des étalons que l'on pouvait fabriquer de manière simple et précise. Elles sont a priori les plus fondamentales et celles que l'on pourra difficilement exprimer en fonction d'autre grandeurs de manière simple[réf. nécessaire].

Composition des grandeurs[modifier | modifier le code]

Grandeur dérivée[modifier | modifier le code]

Une grandeur dérivée est une grandeur dont la dimension est liée à au moins une des sept grandeurs de base.

La dimension d'une grandeur dérivée est dite simple lorsqu'elle n'est liée qu'à une des sept grandeurs de base.

Par exemple, la dimension de la superficie est simple : elle n'est liée qu'à la longueur et correspond au carré d'une longueur.

La dimension d'une grandeur dérivée est dite composée lorsqu'elle est liée à au moins deux des sept grandeurs de base.

Par exemple, la vitesse est le rapport d'une longueur par une durée.

Équation aux dimensions[modifier | modifier le code]

L'équation aux dimensions est l'équation qui relie la dimension d'une grandeur dérivée à celles des sept grandeurs de base.

Dans une équation aux dimensions, la dimension de la grandeur dérivée est couramment notée .

La forme générale d'une équation aux dimensions est :

,

où :

  • et sont les dimensions respectives des sept grandeurs de base ;
  • et sont les exposants respectifs des sept grandeurs de base.

Ces derniers sont appelés exposants dimensionnels.

Exposant dimensionnel[modifier | modifier le code]

Un exposant dimensionnel est un nombre entier relatif.

Il peut être (strictement) positif, nul ou (strictement) négatif.

Grandeur sans dimension ou de dimension 1

Une grandeur sans dimension, ou grandeur de dimension 1, est une grandeur pour lesquels tous les exposants dimensionnels sont nuls.

Ainsi, la dimension d'une grandeur est la manière dont elle se compose à partir des sept dimensions de base. Par exemple, on dit que « la dimension d'une vitesse est une longueur divisée par une durée » (on dit aussi « la vitesse est homogène à une longueur divisée par une durée). On note ceci de manière abrégée par une équation aux dimensions :

(ou encore ).

La composition peut devenir plus complexe. Ainsi, la force a la dimension d'une masse multipliée par une longueur et divisée par une durée au carré :

que l'on peut aussi noter

Signification des exposants[modifier | modifier le code]

Les exposants indiquent le degré d'influence d'un paramètre composant le phénomène sur l'intensité finale du paramètre. Ce sont précisément ces exposants qu'on appelle « dimensions » dans l'expression « équation aux dimensions ».

Par exemple, dans le cas de l'étalon-force, considérons la forme intermédiaire de l'équation aux dimensions :

Si l'on double la force :

  • on peut accélérer une masse double sur une même durée et atteindre une même vitesse, le a donc un exposant 1 (stricte proportionnalité) ;
  • on peut accélérer la même masse sur une même durée pour atteindre une vitesse double, le a donc un exposant 1 ;
  • on peut accélérer la même masse durant la moitié du temps pour atteindre la même vitesse, le deuxième a donc un exposant -1 ().

Prédictions[modifier | modifier le code]

L'analyse dimensionnelle permet de trouver la solution de certains problèmes sans avoir à résoudre d'équations grâce au théorème de Buckingham (parfois appelé « théorème Pi »).

Deux exemples célèbres sont le calcul de la puissance de la première bombe atomique et le modèle de Kolmogorov de la turbulence homogène isotrope, qui a influencé grandement toute la mécanique des fluides.

Ce type de calcul n'est valable que si un petit nombre de paramètres contrôlent la solution d'un problème (2 ou 3).

Illustration de la méthode[modifier | modifier le code]

Considérons un point matériel de masse m et de charge électrique q soumis à un champ magnétique uniforme . Le point matériel animé d'une vitesse est soumis à la force de Lorentz :

Lorsque , le point matériel décrit un cercle dans le plan perpendiculaire au champ magnétique à vitesse angulaire ω constante. Cette vitesse angulaire doit dépendre des paramètres m, q et du problème. On peut chercher s'il existe une relation simple, comme un produit, entre ces paramètres :

k, α, β et γ sont des constantes inconnues, et des nombres sans dimension. Les équations aux dimensions permettent de déterminer ces nombres. En effet, on a :

d'où l'équation aux dimensions d'un champ magnétique :

On en déduit l'équation aux dimensions de ω :

Par ailleurs, la vitesse angulaire ω est le rapport d'un angle divisé par un temps T0 (la période de rotation) :

Un angle étant sans dimensions, il vient :

On en déduit que γ = 1,0 ;  ;

.

D'où la forme de ω :

On appelle « pulsation cyclotron » la grandeur :

La constante numérique k ne peut pas être déterminée par cette méthode ; il faut faire un calcul explicite complet de ω pour la trouver (ou une mesure expérimentale pour la déterminer). L'expérience montre cependant que, dans un système d'unités adapté au problème étudié, la constante k est toujours de l'ordre de grandeur de 1 (au sens où π ~ e ~ 1), d'où la pertinence de l'analyse dimensionnelle pour prévoir la forme du résultat d'un calcul, ainsi que son ordre de grandeur[2].

« Principe zéro » de la physique théorique[modifier | modifier le code]

La puissance du pouvoir prédictif de l'analyse dimensionnelle en regard de sa simplicité a conduit Wheeler à proposer le principe général suivant :

« Ne jamais faire de calculs avant d'en connaître le résultat. »

Cet énoncé, qui peut sembler a priori paradoxal, signifie concrètement : ne pas se lancer dans un calcul compliqué sans avoir trouvé au préalable la forme qualitative du résultat avec l'analyse dimensionnelle.

Exemple : un calcul de G. Taylor[modifier | modifier le code]

La légende voudrait que l'analyse dimensionnelle ait permis à Geoffrey Ingram Taylor d'estimer en 1950 l'énergie dégagée par l'explosion d'une bombe atomique, alors que cette information était classée top secret. Il lui a suffi pour cela d'observer sur un film d'explosion, imprudemment rendu public par les militaires américains, que la dilatation du champignon atomique suivait la loi expérimentale de proportionnalité.

Note 1[modifier | modifier le code]

En réalité, la solution qui suit a été trouvée indépendamment par Geoffrey Ingram Taylor[3] et John von Neumann[4] durant la seconde guerre mondiale. Après la guerre, cette solution a été publiée par trois autres auteurs — L. I. Sedov[5], R. Latter[6], et J. Lockwood-Taylor[7],[8]. En 1949, suite à la déclassification des images d'une explosion nucléaire au Nouveau Mexique, Taylor analyse les photographies à la lumière de ses travaux passés et en déduit la puissance de la bombe[9].

La légende est la suivante[réf. nécessaire] : Le physicien Taylor suppose a priori que le processus d'expansion de la sphère de gaz dépend au minimum des paramètres suivants :

  • le temps t ;
  • l'énergie E dégagée par l'explosion ;
  • la masse volumique de l'air ρ.

L'analyse dimensionnelle le conduit alors pour le rayon de la sphère de gaz à l'instant t à l'équation :

k est une constante sans dimensions. Taylor retrouve donc bien la loi expérimentale de dilatation du champignon

,

ce qui semble valider son choix de paramètres. Il détermine alors r et t à partir du film, et, k étant supposée de l'ordre de l'unité et ρ étant connue, il obtient finalement :

Note 2[modifier | modifier le code]

En réalité, G. I. Taylor n'a pas utilisé ce raisonnement simpliste. Dans sa première publication, longue de 15 pages, G. I. Taylor utilise l'analyse dimensionnelle pour simplifier les équations différentielles qui décrivent l'écoulement. Après de longs et difficiles calculs, il obtient finalement la formule très simple suivante :

où intervient la grandeur numérique qui dépend de la constante qui vaut 1,4 à température ambiante, mais qui diminue à haute température. Taylor s'étonne ainsi dans son second article du très bon accord entre la formule et les valeurs mesurées sur les photos et précise qu'il s'attendait à un moins bon accord. Ce n'est donc qu'a posteriori, grâce aux lourds calculs de Taylor et à la constatation expérimentale que la température n'intervient pas, que l'on peut retrouver très élégamment l'expression du rayon du champignon nucléaire en fonction du temps et de l'énergie de la bombe.

Note 3[modifier | modifier le code]

L'expression de l'énergie dans l'exemple ci-dessus (bombe nucléaire) peut être obtenue de manière plus générale sans faire référence à l'expansion d'une sphère de gaz. Puisqu'il s'agit de retrouver rapidement le monôme qui intervient dans la relation , n'importe quelle méthode convient :

Par exemple, et donc , d'où


Méthode généralisable: on cherche tels que avec , , et ( voir tableau en dessous )

Fiabilisation des calculs de physique[modifier | modifier le code]

Dès 1976, Michel Sintzoff (en) remarquait qu'on peut renforcer la fiabilité des programmes de calculs en physique, en vérifiant à la compilation leur homogénéité dimensionnelle par évaluation symbolique. Pour cela, on remarque notamment que :

  • les dimensions des diverses grandeurs forment un groupe multiplicatif ayant pour générateurs les dimensions de base ;
  • l'addition, la soustraction, les combinaisons min/max, l'affectation de grandeurs supposent opérandes et résultats de même dimension ;
  • la dimension du résultat du produit (resp. quotient) de deux grandeurs est le produit (resp. quotient) de leurs dimensions.

Le procédé est automatisable, en déclarant les variables physiques en tant que telles, et en codant leur dimension par la suite des exposants relatifs aux dimensions de base prises dans un ordre fixe[10].

Exemples de dimensions de grandeurs dérivées[modifier | modifier le code]

Nom Unité SI Dimensions
Superficie m2
Volume m3
Vitesse m⋅s-1
Accélération m⋅s-2
Nombre d'ondes rad⋅m-1
Masse volumique kg⋅m-3
Masse surfacique kg⋅m-2
Volume massique m3⋅kg-1
Densité de courant A⋅m-2
Champ magnétique T (tesla)
Concentration molaire (de quantité de matière) mol⋅m-3
Concentration massique kg⋅m-3
Luminance lumineuse cd⋅m-2
Fréquence Hz
Force N (newton)
Énergie ou travail J (joule)
Puissance W (watt)
Moment d'une force N⋅m
Pression Pa
Viscosité dynamique Pa⋅s
Viscosité cinématique m2⋅s-1
Tension superficielle N⋅m-1
Débit massique kg⋅s-1
Débit volumique m3⋅s-1
Chaleur ou enthalpie J (joule)
Entropie J⋅K-1
Conductivité thermique W⋅m-1⋅K-1
Coefficient de transfert thermique global W⋅m-2⋅K-1
Capacité thermique J⋅K-1

Références[modifier | modifier le code]

  1. David Rouvel, « Scolie sur le Système international d'unités (SI) », Bulletin de l'union des physiciens, no 911, février 2009, page 212.
  2. Pour cet exemple précis, la résolution de l'équation de la dynamique de Newton montre que k = 1 exactement.
  3. Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. Theoretical discussion, " Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 201, No. 1065, pages 159 - 174 (22 March 1950). [lire en ligne]
  4. Neumann, John von, "The point source solution, " John von Neumann. Collected Works, edited by A. J. Taub, Vol. 6 [Elmsford, N.Y.: Permagon Press, 1963], pages 219 - 237.
  5. Sedov, L. I., "Propagation of strong shock waves", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 10, pages 241 - 250 (1946).
  6. Latter, R., "Similarity solution for a spherical shock wave", Journal of Applied Physics, Vol. 26, pages 954 - 960 (1955).
  7. Lockwood-Taylor, J., "An exact solution of the spherical blast wave problem," Philosophical Magazine, Vol. 46, pages 317 - 320 (1955).
  8. Batchelor, George, The Life and Legacy of G. I. Taylor, [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996], pages 202 - 207. [lire en ligne]
  9. Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945," Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 201, No. 1065, pages 175 − 186 (22 March 1950). [lire en ligne]
  10. H.Sidhoum, M.Babout, L.Frécon, Ampère2, un langage de programmation pour la physique, The European Journal of Physics, vol.11, 1990, p. 163-171

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]