Vitesse angulaire

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En physique, et plus spécifiquement en mécanique et en électronique, la vitesse angulaire ω, aussi appelée fréquence angulaire ou pulsation, est une mesure de la vitesse de rotation et une caractéristique d'une oscillation sinusoïdale.

Elle s'exprime dans le système international en radians par seconde ( rad⋅s-1). On peut aussi utiliser des degrés/seconde et des tours/seconde[1]. Comme les angles sont des grandeurs sans dimension, on pourrait la communiquer simplement en  s-1, mais cette pratique est à éviter, à moins que l'unité d'angle soit parfaitement claire[2]. Dans les domaines de la mécanique industrielle et de la vie courante, on l'exprime souvent en tours par minute (tr/min).

Une révolution complète est égale à 2π radians, donc \frac{\omega}{2\pi} = f :

\omega = \frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

où l'expression \frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t} est la dérivée de l'angle par rapport au temps (en rad·s−1), T est la période de rotation (en s) et f est la fréquence (en hertz si c'est un oscillation sinusoïdale, en tours/seconde s'il s'agit d'une rotation).

En conséquence, un tour par minute équivaut à \frac{2 \pi}{60}, soit 0,105 rad⋅s-1 environ.

L'utilisation de la vitesse angulaire au lieu de la fréquence ordinaire est pratique dans maintes applications car elle permet d'éviter l'apparition excessive de π. Elle est utilisée, entre autres, dans de nombreux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électromagnétisme ainsi qu'en mathématiques pour la transformée de Fourier.

Pour une trajectoire circulaire :

 \omega = \frac{2\pi}{T}=\frac{v}{r}

T est la période (en s), r est le rayon de la rotation (en m) et v est la vitesse du point (en m·s−1)

On utilise parfois un vecteur vitesse angulaire \vec{\omega}. Il s'agit du vecteur :

  • normal au plan de rotation ;
  • orienté de sorte que le mouvement se fasse dans le sens positif ;
  • dont la norme vaut ω.

Théorèmes et propriétés relatifs à la fréquence angulaire[modifier | modifier le code]

Composition des vitesses angulaires[modifier | modifier le code]

Quels que soient les solides A, B et C, les fréquences de rotations sont liées par : \vec{\omega}_{A/C}=\vec{\omega}_{A/B}+\vec{\omega}_{B/C}. Remarque : il ne s'agit pas d'un vecteur mais d'un pseudovecteur, puisque le symétrique dans un miroir est inversé.

Exemple
Soit un référentiel galiléen R.
Considérons un solide S_1 en rotation à la fréquence angulaire \omega_{S_1/R}, par rapport au référentiel R.
Considérons également un solide S_2 en rotation par rapport à S_1 à la fréquence angulaire \omega_{S_2/S_1}.
La vitesse de rotation de S_2 par rapport à R, \omega_{S_2/R}, sera égale à \omega_{S_2/R}=\omega_{S_1/R}+\omega_{S_2/S_1}.
Dans ce cas, si \omega_{S_2/S_1}=-\omega_{S_1/R}, le solide S_2 sera en translation circulaire dans le référentiel R.

Relation Vitesse - Fréquence angulaire[modifier | modifier le code]

Soient un solide S, et A et B, deux points de ce solide. Alors les vitesses des points A et B sont reliées par la relation suivante, aussi appelée relation de Varignon (ou formule de BABAR, ce qui fournit un moyen mnémotechnique pour la retenir) :

\vec{V_A}=\vec{V_B}+\vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R}.

Cette formule montre bien que ω (en rad·s−1) n'est pas une vitesse (en m·s−1). Mais le produit vectoriel \vec{AB}\wedge\vec{\omega}_{A/R} est bien homogène à une vitesse.

Cas particulier : rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le code]

Soit, pour un solide S en rotation autour d'un axe fixe D en un point O, de vecteur unitaire \vec{u}, la vitesse angulaire \vec{\omega}_{S/R}=\frac{\mathrm d \, \theta}{\mathrm d \, t} \vec{u}.

On peut alors exprimer la vitesse d'un point A quelconque du solide telle que : \vec{V}_{A/R}=\vec{\omega}_{S/R}\wedge\vec{OA}.

Exemple
Soit un disque de 1 m de rayon, en rotation autour de son axe de symétrie à la vitesse \omega_{D/R} (R un référentiel galiléen). Si ω est exprimée en radians par seconde, alors chacun des points situés sur le bord du disque aura une vitesse, dite aussi vitesse linéaire, orthogonale à l'axe de rotation (par propriété du produit vectoriel) de \omega_{D/R}\times1m. Unité : mètres par seconde.

Centre instantané de rotation[modifier | modifier le code]

Par analogie : lorsqu'un mouvement n'est pas rectiligne, on peut regarder de façon ponctuelle sa vitesse et sa direction à un instant donné. De la même façon, s'il n'est pas en rotation, on peut considérer de façon ponctuelle une vitesse angulaire et un centre de rotation.

Le centre instantané de rotation de A par rapport à B pour l'instant t est le point I de A vérifiant : \vec{V}_{I/B}(t)=\vec{0}.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Bruxelles, De Boeck,‎ 2013, p. 723.
  2. « En pratique, les symboles rad et sr sont utilisés lorsque c'est utile », Bureau international des poids et mesures, Unités ayant des noms spéciaux et des symboles particuliers.