Théorème de Vaschy-Buckingham

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En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham[1],[2], ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu variables sans dimension construites à partir des variables originelles.

Ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand[3] en 1878.

Énoncé de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Soient , , ,… des quantités physiques, dont les premières sont rapportées à des unités fondamentales distinctes et les dernières à des unités dérivées des unités fondamentales (par exemple peut être une longueur, une masse, un temps, et les autres quantités , ,… seraient des forces, des vitesses, etc.; alors ). Si entre ces quantités il existe une relation :

qui subsiste quelles que soient les grandeurs arbitraires des unités fondamentales, cette relation peut se ramener à une autre en paramètres au plus, soit:

les paramètres , ,… étant des fonctions monômes de , ,… (c'est-à-dire , avec ).

Démonstration de Vaschy[1][modifier | modifier le code]

Pour démontrer le théorème précédemment énoncé, remarquons que les quantités , ,… étant rapportées à des unités dérivées, cela revient à dire que l'on peut trouver des exposants , ,… , … tels que les valeurs numériques des rapports

soient indépendantes des valeurs arbitraires des unités fondamentales. (Ainsi , , , désignant respectivement une longueur, une masse, un temps et une force, le rapport auraient une valeur indépendante du choix des unités). Or, la relation:

peut s'écrire:

Mais, en faisant varier les grandeurs des unités fondamentales, on pourra faire varier arbitrairement les valeurs numériques des quantités , ,… dont les grandeurs intrinsèques sont supposées fixes, tandis que les valeurs numériques de , ,… ne changeront point. La relation précédente devant subsister quelles que soient les valeurs arbitraires de , ,… , doit être indépendantes de ces paramètres; cette relation prend ainsi la forme la plus simple:

Généralisation[4][modifier | modifier le code]

Dans l'énoncé de Vaschy, les premières grandeurs doivent être rapportées à des unités fondamentales distinctes. La généralisation consiste simplement à considérer que les premières grandeurs sont dimensionnellement indépendantes, i.e. les dimensions de ces quantités ne peuvent être écrites comme une fonction monôme des dimensions des autres quantités. Par exemple prenons 4 grandeurs physiques, une densité volumique , une aire , une vitesse et une accélération . Les variables , et sont dimensionnellement indépendante par contre les variables , et ne le sont pas car

Origine du nom « Théorème Π »[modifier | modifier le code]

Ce théorème est aussi nommé Théorème Π car il est d'usage en physique d'utiliser la lettre Π pour les variables physiques adimensionnelles qui ne sont pas baptisées comme le sont les nombres de Reynolds, Prandtl ou de Nusselt. C'est ainsi qu'elles sont nommées dans l'article de Buckingham[2].

Exemple d'application[modifier | modifier le code]

Le volume d'une sphère ne dépend que de son rayon . Il vérifie donc une équation .

En unité SI, les 2 variables sont dimensionnées en et . L'équation a 2 variables et et une seule unité .

D'après le théorème, il existe une équation telle est une constante sans dimension.

Pour trouver la fonction , il faut trouver un couple tel que . Soit : . On peut prendre

La fonction s'écrit alors . On retrouve le résultat est une constante sans dimension (dont la valeur est ).

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Aimé Vaschy, « Sur les lois de similitude en physique », Annales Télégraphiques, vol. 19,‎ , p. 25-28.
  2. a et b (en) Edgar Buckingham, « On physically similar systems. Illustrations of the use of dimensional equations », Physical Review, vol. 4, no 4,‎ , p. 345-376.
  3. J. Bertrand, « Sur l'homogénéité dans les formules de physique », Comptes rendus, vol. 86, no 15,‎ , p. 916–920 (lire en ligne).
  4. (en) Grigory Isaakovich Barenblatt, Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics : dimensional analysis and intermediate asymptotics, vol. 14, Cambridge University Press, (ISBN 0 521 43516 1).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Tatjana Misic, Marina Najdanovic-Lukic et Ljubisa Nesic, « Dimensional analysis in physics and the Buckingham theorem », European Journal of Physics, vol. 31, no 4,‎ , p. 893-906 (DOI doi:10.1088/0143-0807/31/4/019).