Système d'unités naturelles

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Un système d'unités naturelles est un système d'unités dont les trois unités de base sont : la vitesse de la lumière, pour la vitesse ; la constante de Planck réduite, pour l'action ; et la masse de l'électron, pour la masse.

Le Système international d'unités est établi en référence à la meilleure traçabilité des données dans le monde. Il est donc inadapté à chaque situation particulière. Étant donné un problème défini par un certain nombre d'équations, ce système d'équations dépend d'un nombre défini de paramètres. Sa solution ne pourra alors que faire intervenir ces paramètres et pas d'autres. Cette lapalissade est néanmoins ce qui permet de construire ce qu'en analyse dimensionnelle on appelle le SUN ou Système d'unités naturelles du problème considéré, si trois de ces paramètres permettent de reconstruire un temps, une vitesse et une masse.

Si d'autres paramètres interviennent, alors il y a apparition de nombre sans dimension (nombre de Reynolds par exemple en hydrodynamique) et on considère des « régimes différents » selon la taille des différents termes en présence.

Règle de Wheeler[modifier | modifier le code]

Toute cette attitude, familière au physicien, est attribuable au fait que très rarement, en physique, interviennent de grands nombres (on a malgré tout des (2\pi)^6 qui peuvent arriver) ; ou alors il faut les justifier :

  • par exemple une étoile comme le Soleil contient beaucoup de protons, mais pas tant que cela à « l'échelle » justifiée de N* = 1057 = \left(\frac{\hbar c}{GM^2}\right)^{3/2} ;
  • par exemple aussi, l'indiscernabilité fait intervenir en physique statistique N! qui avec N = 1024 est assez considérable.

Cette règle qui attribue la valeur 1 au résultat d'un calcul dans le SUN adapté s'appelle règle de Wheeler.

Néanmoins, il existe en physique quelques cas où une variation exponentielle intervient : le franchissement d'une barrière de potentiel par effet tunnel (les temps de demi-vie parcourent trente ordres de grandeur) ou par diffusion thermique (les résistivités parcourent aussi quinze ordres de grandeur).
Ou encore le théorème de Nekhoroshev dans la diffusion d'Arnold.

Système d'unités atomiques[modifier | modifier le code]

Il est le plus familier au physicien-chimiste ; dans l'article système d'unités atomiques a été développée la notion de système de Bohr, et elle a été distinguée du système de Schrödinger ; cela donne une bonne idée de ce que l'analyse dimensionnelle (le scaling ou dimensional units en anglais) peut apporter en physique.

Précaution[modifier | modifier le code]

Insistons sur le fait qu'il faut d'abord avoir les équations physiques du problème.

  • L'exemple classique est celui de Taylor sur la bombe atomique. L'armée américaine ayant déclassé en 1950 les photographies de la boule de feu d'Hiroshima (6 août 1945), Taylor constata que le rayon de la boule ne croissait pas linéairement avec le temps, mais plutôt comme t2/5. Il raisonna ainsi : soit E0 l'énergie de la bombe et a la masse volumique de l'air ; alors :
    E_0 = mc^2 = (ar^3)\left(\dfrac{r}{t}\right)^2, soit : r = t^{2/5} \left(\dfrac{E_0}{a}\right)^{1/5}
    À partir des photographies Taylor obtint la valeur de E0, avec la règle de Wheeler. Encore fallait-il être Taylor pour savoir écrire les équations de l'explosion... Il n'a pu tirer très vite parti de l'analyse dimensionnelle que parce qu'il avait identifié les bons paramètres.
  • Galilée savait très bien que dans toute expérience de chute ralentie sans frottement, la masse m de l'objet n'intervient pas, car le rapport (masse inerte)/(masse grave) se simplifie. Il n'en a pas pour autant inventé la théorie de la relativité générale dans laquelle ce principe d'équivalence joue un rôle crucial.

Exemples en thermodynamique[modifier | modifier le code]

  • La loi de Mariotte donne P = \dfrac{2}{3} \times \frac{U}{V} avec U = 3/2 N kT par définition de la température cinétique. Il peut en déduire la vitesse quadratique moyenne u = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}}. On sait peu ou prou que la vitesse c est une vitesse limite. Ce n'est pas pour cela qu'on trouvera l'expression de la loi de Mariotte relativiste.
  • La loi de Stefan du corps noir U/V = aT^4 avec a = \frac{\pi^2}{15}\frac{k^4}{\hbar^3c^3} , peut être retenue mnémotechniquement comme U/V = f( kT, quantique, relativiste), ce qui donnera à peu près le nombre de photons et à peu près PV = N kT.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • Barenblatt, Dimensional analysis,
  • Sedov, Analyse dimensionnelle, ed Mir
  • Ibragimov, Symmetries in differential equations, ed CRC
  • Migdal, analyse physique qualitative(ed israel translations)
  • Gitterman & Halpern, qualitative analysis of physical problems ,1981,ed Ac Press
  • Weisskopf : physics is simple (rapport interne du CERN, 1950)
  • Stephan Fauve (ENS-Paris) Cours analyse dimensionnelle

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]