Principe fondamental de la dynamique

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Le principe fondamental de la dynamique, PFD, ou deuxième loi de Newton, relation fondamentale de la dynamique, ou encore RFD. On peut également le voir comme découlant du principe des puissances virtuelles qui en est une formulation duale.

Principe fondamental de la dynamique en translation[modifier | modifier le code]

Il s'agit de la deuxième loi de Newton. Elle s'énonce ainsi :

Soit un corps de masse m constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Ceci est souvent récapitulé par l'équation :

 \vec{a} = \frac{1}{m} \sum{\vec{\mathrm{F}}_i}
— ou —
\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = m \vec{a}

où :

Ainsi, la force nécessaire pour accélérer un objet est le produit de sa masse et de son accélération : plus la masse d'un objet est grande, plus grande est la force requise pour l'accélérer à une vitesse déterminée (en un laps de temps fixé). Quelle que soit la masse d'un objet, toute force nette non-nulle qui lui est appliquée produit une accélération.

Théorème de la quantité de mouvement[modifier | modifier le code]

Une forme plus générale du PFD, valable également si la masse change au cours du temps est

La force est égale aux changements de quantité de mouvement par unité de temps.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation :

\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} = \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}

où :

Ce théorème est appelé théorème de la quantité de mouvement. Pour un solide de masse fixe en mécanique newtonienne, il est équivalent à la deuxième loi de Newton.

Cette forme est intéressante dans le cas où la masse n'est pas constante, comme par exemple dans le cas de la propulsion par réaction.

Principe de d'Alembert[modifier | modifier le code]

On peut aussi écrire le PFD sous la forme :

\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} - m \vec{a} = \vec{0}.

Cela permet une traduction graphique du PFD (voir l'article Statique graphique) : si l'on met les vecteurs forces bout à bout, on obtient un polygone ouvert (puisque la somme des forces est non nulle) ; le vecteur - m \vec{a} est le vecteur qui ferme le polygone.

On retrouve cette forme en se plaçant dans le référentiel de l'objet étudié : si l'accélération est non nulle, le référentiel n'est plus galiléen (voir ci-après), on introduit donc la force d'inertie

\vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = - m \vec{a} = - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}

et l'on retrouve le principe fondamental de la statique (le solide étant immobile dans son propre référentiel)

\sum{\vec{\mathrm{F}}_i} + \vec{\mathrm{F}}_{\mathrm{I}} = \vec{0}.

L'écriture du PFD sous cette forme facilite la résolution de certains problèmes.

Ceci constitue un cas particulier du principe de d'Alembert : puisque

\vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \vec{0},

a fortiori

\int_{\mathrm{C}} \left ( \vec{\mathrm{F}}(x) - \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} \right ) \cdot \delta \vec{r}(x)\,\mathrm dx = \vec{0}.

Principe fondamental de la dynamique en rotation[modifier | modifier le code]

En mécanique du solide, on considère également la rotation d'un solide. Le principe fondamental de la dynamique comporte alors un « volet » sur la rotation.

Point matériel en mouvement circulaire[modifier | modifier le code]

Considérons un point matériel A de masse m en mouvement plan circulaire. Sa trajectoire décrit un cercle de centre O et de rayon r constant.

Si l'on projette le PFD sur l'axe tangentiel du repère de Frenet, on obtient :

Ft = mat

où Ft est la composante tangentielle de la résultante des forces. On en déduit

C = JOα

On obtient ainsi une forme similaire au PFD en translation.

Comparaison entre le PFD en translation et en rotation pour le point matériel
Grandeur Translation Rotation
Effort Force F (N) Moment C (N⋅m)
Inertie masse m (kg) Moment d'inertie J (kg⋅m2)
Variation du mouvement Accélération a (m⋅s-2) Accélération angulaire α (rad⋅s-2)

Solide en rotation autour d'un axe fixe[modifier | modifier le code]

Considérons un solide S en mouvement de rotation autour d'un axe (Δ), fixe par rapport au référentiel. On peut appliquer la simplification des mouvements plans en considérant un plan orthogonal à (Δ), et donc utiliser des valeurs scalaires. Le solide est défini par sa fonction de masse volumique ρ. On peut intégrer la formule précédente pour tous les points du solide, ce qui donne

Cext = JΔα

  • Cext est le moment des actions mécaniques extérieures s'exerçant sur S ;
  • JΔ est le moment d'inertie du solide,
    \mathrm{J}_{\Delta} = \iiint_\mathrm{S} d(\Delta, \mathrm{M})^2 \cdot \rho(\mathrm{M}) \cdot \mathrm{dV}
    d(V, M) est la distance du point M à la droite (Δ) ;
  • α est l'accélération angulaire du solide.

On peut formuler ce principe sans se placer dans le plan du mouvement et en utilisant des valeurs vectorielles :

Soit un corps de moment d'inertie constant JΔ par rapport à l'axe de rotation fixe (Δ), l'accélération angulaire subie par ce corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la somme des moments des forces qu'il subit exprimés au point A, en projection sur (Δ), et inversement proportionnelle à son moment d'inertie.

Ceci est souvent récapitulé dans l'équation, pour un axe de rotation (Δ) passant par A :

 \vec{\alpha} = \frac{1}{\mathrm{J}_\Delta} \sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i) },
— ou —
\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) = \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha},
— ou encore —
\sum{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i}) - \mathrm{J}_\Delta \vec{\alpha} = \vec{0}.

Formulation générale[modifier | modifier le code]

La formulation la plus générale en est :

Le moment dynamique par rapport à un point A donné d'un corps dans un référentiel galiléen est proportionnel à la somme des moments des forces qu'il subit exprimés au point A.

Ceci s'écrit :

\vec{\delta}_\mathrm{A} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i})

\vec{\delta}_\mathrm{A} désigne le moment dynamique (exprimé en kg⋅m2⋅s-2).

L'expression se simplifie si l'on considère le moment d'inertie par rapport au centre d'inertie G, ou bien par rapport à un point géométrique A fixe dans le référentiel — donc on calcule les moments dynamiques toujours autour du même point fixe, cela ne signifie pas qu'il existe un point du solide de vitesse nulle. Dans ce qui suit, le point P désigne soit un point fixe A, soit le centre d'inertie G.

Dans ces cas-là, le moment dynamique est simplement la dérivée du moment cinétique \vec{\sigma}_\mathrm{P}. Si par ailleurs le solide est indéformable, on peut exprimer le moment cinétique en fonction de la matrice d'inertie [IP] (nécessairement constante) et l'on a :

\vec{\delta}_\mathrm{P} = [\mathrm{I_P}] \cdot \vec{\alpha}  + \vec{\Omega} \wedge \vec{\sigma}_\mathrm{P}

où Ω est la vitesse de rotation et \vec{\alpha} est le vecteur accélération angulaire

\vec{\alpha} = \frac{\mathrm{d}\vec{\Omega}}{\mathrm{d}t}.

Le PFD devient ainsi

Dans un référentiel galiléen, si P est un point fixe dans le référentiel (\vec{\mathrm{V}}_\mathrm{G} = \vec{0}) ou bien le centre d'inertie (P = G), alors

[\mathrm{I_P}] \cdot \vec{\alpha}  + \vec{\Omega} \wedge \vec{\sigma}_\mathrm{P} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{P}} (\vec{\mathrm{F}}_i})

Si le solide est en mouvement de rotation autour d'un axe fixe (Δ), alors pour tout point A de cet axe (qui est également un point fixe dans le référentiel), \vec{\sigma}_\mathrm{A} est colinéaire à \vec{\Omega} et l'on a donc

\vec{\delta}_\mathrm{A} = [\mathrm{I_A}] \cdot \vec{\alpha}

ce qui nous redonne l'expression du PFD de la section précédente :

[\mathrm{I_A}] \cdot \vec{\alpha} = \sum_i{\vec{\mathrm{M}}_{\mathrm{A}} (\vec{\mathrm{F}}_i})

Dynamique avec les torseurs[modifier | modifier le code]

On peut résumer le PFD en translation et en rotation avec les torseurs d'action et dynamique[1] :

\sum \{ \mathcal{T}_{\mathrm{ext}} \} = \{ \mathcal{D}\}.

On note ℰ l'espace réel. On voit en fait que l'équation du moment dynamique

\forall \mathrm{A} \in \mathcal{E}, \sum \vec{\delta}_{\mathrm{ext}}(\mathrm{A}) = \sum \vec{\mathcal{M}}_\mathrm{ext}(\mathrm{A})

suffit seule à établir l'équilibre. En effet, les torseurs sont des champs de vecteurs, ici les champs de moments dynamiques et de moments de forces, donc la somme de torseurs est en fait la somme des moments. La résultante d'un torseur n'est qu'une propriété de ce champ ; l'équation de la résultante

\sum \vec{\mathcal{A}}_\mathrm{ext} = \sum \vec{\mathcal{R}}_\mathrm{ext}

dérive de l'équation des moments par les propriétés d'addition des torseurs.

Dans la pratique, il est plus aisé de vérifier l'équation de la résultante d'une part, et l'équation des moments en un point donné d'autre part, plutôt que de vérifier l'équation des moments en tout point.

Pour simplifier les calculs, on transporte tous les torseurs au point d'application d'une action inconnue (point où la réduction du torseur de cette action est un glisseur), et lorsque plusieurs actions sont inconnues, on prend le point d'application de l'action « la moins connue » (celle ayant le plus de composantes inconnues). En effet, plus les termes du produit vectoriel comportent d'inconnues, plus le calcul est malaisé.

Référentiels non galiléens[modifier | modifier le code]

Article détaillé : force d'inertie.

Notons enfin qu'il est possible de reformuler de manière plus large la deuxième loi de Newton dans un référentiel non galiléen en ajoutant des termes dans l'équation qui sont homogènes à des forces, et qu'on appelle souvent « forces d'inertie ». Ces termes ne sont pas des forces au sens usuel « d'interactions », mais des termes correctifs d'origine géométrique et cinématique.

Démonstration en mécanique quantique[modifier | modifier le code]

Les postulats de la mécanique quantique permettent de retrouver la deuxième loi de Newton. En partant du théorème d'Ehrenfest, qui affirme que l'évolution temporelle de la valeur moyenne  \langle a \rangle = \langle \psi | \mathrm{A} | \psi \rangle d'une observable A est donné par l'équation :

 \frac{\mathrm d \langle a \rangle}{\mathrm dt} = \frac{1}{i \hbar} \langle \psi |[ \mathrm{A}, \mathrm{H}] | \psi \rangle + \left \langle \psi \left | \frac{\partial \mathrm{A}}{\partial t} \right | \psi \right \rangle

On applique ce théorème aux observables position et impulsion, dans le cas d'un hamiltonien  \mathrm{H} = \frac{\mathrm{P}^2}{2m} + \mathrm{V}(\mathrm{R}, t)

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle r\rangle = \frac{1}{m} \langle p \rangle
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle p\rangle = \langle -\nabla \mathrm{V}\rangle

(ces relations sont démontrées en détail dans l'article théorème d'Ehrenfest).

En combinant les deux équations obtenues, on a

 m \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dt^2}\langle r\rangle = \langle -\nabla \mathrm{V} \rangle

Cette relation correspond bien à l'équation de Newton si  \langle -\nabla \mathrm{V}\rangle  représente la force prise au centre du paquet d'onde de la particule étudiée, c'est-à-dire si  \langle \nabla \mathrm{V}\rangle = [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle }

Or,

 \begin{align} \langle \nabla \mathrm{V}\rangle & = \langle \psi | \nabla \mathrm{V} | \psi \rangle \\
 \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \;\psi^* \;\nabla \mathrm{V} \;\psi \\
 \ & = \int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \;\nabla \mathrm{V} \\
 \ & \simeq [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \;\int \mathrm d^3 \mathbf r \; |\psi|^2 \\
 \ & = [\nabla \mathrm{V}]_{\mathbf r = \langle r\rangle } \end{align}

si le paquet d'onde est suffisamment localisé, ce qui est le cas à l'échelle macroscopique.

On a donc bien démontré la deuxième loi de Newton à partir des postulats de la mécanique quantique, et en particulier à partir de l'équation de Schrödinger (à travers le théorème d'Ehrenfest).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. CDB 2004, p. 124

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]