Puissance de deux

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En mathématiques, la puissance de deux d'un nombre réel x est 2^x. C'est un cas particulier de la fonction puissance. Sa fonction inverse est le logarithme binaire.

La restriction de cette fonction sur les entiers naturels donne les puissances entières de deux qui sont un produit construit à partir du nombre deux multiplié par lui-même un certain nombre de fois. Un est une puissance (la puissance zéro) de deux. Écrite en binaire, une puissance de deux est toujours de la forme 10000…0, comme une puissance de dix dans le système décimal.

Comme deux est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les nombres de cette forme apparaissent parfois dans les logiciels. Par exemple, dans le jeu vidéo The Legend of Zelda pour la console de jeu Nintendo 8 bits, on peut seulement travailler avec des nombres longs de 8 bits - le contenu d'un octet, utilisé pour stocker un nombre, donné par une valeur maximale de 2⁸-1 = 255.

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (2³) bits, et un kilooctet contient 1 024 (2¹⁰) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14′′.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme 2^N–1. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 2⁵–1. Pour que 2^N–1 soit premier, il est nécessaire que N le soit, mais cette condition n'est pas suffisante. Le plus petit contre-exemple est 2¹¹–1 = 2047 = 23 × 89.

On peut aussi remarquer que le chiffre de l'unité est une suite (2,4,8,6) : 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16, 2⁵ = 32, 2⁶ = 64, ...

Les quarante premières puissances de deux

20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512

210 = 1 024 211 = 2 048 212 = 4 096 213 = 8 192 214 = 16 384 215 = 32 768 216 = 65 536 217 = 131 072 218 = 262 144 219 = 524 288

220 = 1 048 576 221 = 2 097 152 222 = 4 194 304 223 = 8 388 608 224 = 16 777 216 225 = 33 554 432 226 = 67 108 864 227 = 134 217 728 228 = 268 435 456 229 = 536 870 912

230 = 1 073 741 824 231 = 2 147 483 648 232 = 4 294 967 296 233 = 8 589 934 592 234 = 17 179 869 184 235 = 34 359 738 368 236 = 68 719 476 736 237 = 137 438 953 472 238 = 274 877 906 944 239 = 549 755 813 888

Puissances de deux qui ont comme exposant des puissances de deux

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.
Une courte liste de certaines d'entre-elles :

2   =   21 4   =   22 16   =   24 256   =   28 65 536   =   216 4 294 967 296   =   232 18 446 744 073 709 551 616   =   264 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456   =   2128 115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936   =   2256

Autres puissances de deux remarquables

• 2²⁴ = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.
  Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
• 2⁶⁴ -1 = 18 446 744 073 709 551 615 , est le nombre de grains de blé que Sissa, l'inventeur légendaire du jeu d'échecs, a reçus de son seigneur (1 sur une case, le double sur la case suivante ; l'échiquier comportant 64 cases, il a reçu 2⁶⁴ -1 grains).

Théorèmes

• La somme des n premières puissances de 2 est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 : $S_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n-1$ ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 : $2^n=S_n+1.~$
• Un entier est divisible par 2ⁿ si et seulement si ses n derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
• Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.