Triplet pythagoricien

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Un triplet pythagoricien vérifie toujours la relation de Pythagore : a2 + b2 = c2.

En arithmétique, un triplet pythagoricien est un triplet (x, y, z) d'entiers naturels non nuls vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.

Triplets primitifs[modifier | modifier le code]

Un triplet pythagoricien (x, y, z) est dit primitif si les trois entiers x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'un diviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Tout triplet pythagoricien (x, y, z) est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : le pgcd de (x, y, z).

Si l'on divise par z2, on obtient :


\frac{x^2}{z^2} + \frac{y^2}{z^2} = 1

c'est-à-dire que les triplets pythagoriciens primitifs permettent de trouver les points du cercle unité à coordonnées rationnelles donnés sous forme irréductible par \left(\frac xz,\frac yz\right).

Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :

(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Lemme préliminaire[modifier | modifier le code]

Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.

En effet :

  • puisqu'ils sont premiers entre eux, l'un des deux au moins est impair ;
  • si tous deux étaient impairs, z serait pair — car chacun a même parité que son carré — et 4 serait alors un diviseur de x2 + y2 = (2s + 1)2 + (2t + 1)2 = 4(s2 + s + t2 + t) + 2 donc de 2, ce qui est faux.

Enfin, ayant établi que x et y sont de parités différentes, z est impair (à nouveau parce que chacun a même parité que son carré).

Le théorème ci-dessous montrera de plus que celui des deux entiers x et y qui est pair est même multiple de 4.

Comment en obtenir ?[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs méthodes pour obtenir des triplets pythagoriciens. Certaines méthodes permettent de trouver tous les triplets pour une longueur de côté donné ; d'autres n'en trouvent que quelques-uns. Celle décrite ci-dessous est simple mais n'en trouve qu'un.

Prenons x un entier supérieur ou égal à 3 et cherchons un triplet pythagoricien primitif (x, y, z) tel que x2 + y2 = z2.

  • Si x est impair, il suffit de choisir y égal à (x2 – 1)/2 et z égal à (x2 + 1)/2, c'est-à-dire à y + 1.
  • Si x est pair (et même divisible par 4, sinon il n'y a pas de solution), il suffit de choisir y égal à (x/2)2 – 1 et z égal à (x/2)2 + 1, c'est-à-dire à y + 2.

Le triplet ainsi construit vérifie de plus x < y, sauf pour x = 4.

Théorème fondamental[modifier | modifier le code]

Nuage de points de tous les couples d'entiers \scriptstyle (a,b) tels que \scriptstyle(a,b,\sqrt{a^2+b^2}) soit pythagoricien avec a et b inférieurs à 4500

Il y a équivalence entre

  • (i) \quad (x,y,z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
  • (ii) Il existe  (p,q) \in\N^{*2} avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes, tels que
    \quad x=p^2-q^2,\quad y=2pq\quad{\rm et}\quad z=p^2+q^2.

Démonstration[modifier | modifier le code]

  • (i)(ii)

Posons u = y/2, s = (z + x)/2 et t = (z – x)/2. Comme y est pair et x, z impairs, u, s et t sont entiers (strictement positifs), et l'on a x = s – t, z = s + t, st = u2.

Les entiers s et t sont premiers entre eux. En effet, leur pgcd divise s + t = z et s – t = x, qui sont premiers entre eux. Soit p/q l'écriture du rationnel u/t sous forme d'une fraction irréductible. Alors, par unicité de la forme irréductible de p2/q2 = u2/t2 = s/t, on a s = p2, t = q2 et u = pt/q = pq.

On a donc bien x = p2q2, z = p2 + q2 et y = 2pq pour des entiers strictement positifs p et q premiers entre eux. Comme x > 0 on a p > q. Enfin, p et q sont de parités différentes puisque p2q2 = x est impair.

  • (ii)(i)

(ii) entraîne immédiatement par un simple calcul que x2 + y2 = z2. D'autre part, comme p et q sont de parités différentes, x est nécessairement impair, si bien que le pgcd de x et z est impair. Or il divise pgcd(z + x, z – x) = pgcd(2p2, 2q2) = 2. Il est donc égal à 1.

Faits intéressants[modifier | modifier le code]

La pertinence de cette section est remise en cause, considérez son contenu avec précaution. En discuter ? (juillet 2014)

Dans un triplet pythagoricien primitif où a et b sont les cathètes et c est l'hypoténuse, a étant impair et b pair (voir lemme préliminaire)[1] :

  • c – b est un carré parfait.
  • c + b est un carré parfait.
  • (c + a) / 2 est un carré parfait.
  • (c – a) / 2 est un carré parfait.
  • Soit a ou soit b est un multiple de 3.
  • b est un multiple de 4.
  • Le produit ab est (donc) un multiple de 12.
  • Soit a, soit b ou soit c est un multiple de 5.
  • Soit a, soit b, soit a + b ou soit b – a est un multiple de 7.

Par exemple, dans le triplet pythagoricien (65, 72, 97), où a = 65, b = 72 et c = 97 :

  • 97 est impair,
  • 97 – 72 = 25, qui est un carré parfait (5 × 5),
  • 97 + 72 = 169, qui est aussi un carré parfait (13 × 13),
  • (97 + 65) / 2 = 81, qui est un carré parfait (9 × 9),
  • (97 – 65) / 2 = 16, qui est aussi un carré parfait (4 × 4),
  • 72 est un multiple de 3,
  • 72 est un multiple de 4,
  • 65 est un multiple de 5,
  • 65 × 72 = 4 680 est un multiple de 12,
  • 72 – 65 = 7, qui est un multiple de 7.

Tout nombre premier de la forme 4n + 1 (ce qui, d'après le théorème de la progression arithmétique ou, plus précisément, d'après le théorème de Chebotarev, est le cas d'un nombre premier sur 2) est l'hypoténuse d'un triangle pythagoricien irréductible, puisque d'après le théorème des deux carrés de Fermat, il peut s'écrire comme somme de deux carrés (p = a2 + b2) et que, selon un cas particulier de l'identité de Lagrange, (a2 + b2)2 = (a2b2)2 + (2ab)2.

Ainsi, 97 = 96 + 1 = 4 × 24 + 1 est premier ; on a bien 97 = 81 + 16 = 92 + 42, 65 = 81 – 16 = 92 – 42, 72 = 2 × 9 × 4 et finalement que 972 = 652 + 722.

Un triangle rectangle de cotés entiers ne peut pas avoir pour aire un carré[2]. Cela signifie que ab/2 n'est jamais le carré d'un entier si (a, b, c) est un triplet pythagoricien.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Robert Stanton, Math Power, Kaplan Publishing, 2003.
  2. Propriété démontrée par Fermat et Frénicle au XVIIe siècle (voir Catherine Goldstein, Un théorème de Fermat et ses lecteurs, 1995).

Articles connexes[modifier | modifier le code]