142 857 (nombre)

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Le nombre 142 857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base 10. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Nombre cyclique[modifier | modifier le code]

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 × 142 857 = 142 857
2 × 142 857 = 285 714
3 × 142 857 = 428 571
4 × 142 857 = 571 428
5 × 142 857 = 714 285
6 × 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,

  • ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type 1/n ;
  • cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1 / 17) ;
052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1 / 19) ;
0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1 / 23) ;
0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1 / 29) ;
0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1 / 47).

On notera aussi les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5
142 857 / 5 = 28 571,4

Ou encore,

142 857 / 4 = 35714.25 (le 3 au début + le 5 à la fin = 8)

Développement décimal cyclique des septièmes[modifier | modifier le code]

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1 / 7) :

1 / 7 = 0,142 857 142 857 142 857 …

On notera alors la première approximation de pi par un rationnel dont la période du développement décimal comprend plus d'un chiffre :

22 / 7 = 3,142 857... (approximation très grossière car les 4 dernières décimales sont fausses).

Multiplications de 8 à 14[modifier | modifier le code]

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier. Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre n se transforme en (n-1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million) :

  • 8 × 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1 + 6)
  • 9 × 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1 + 3)
  • 10 × 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1 + 0)
  • 11 × 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1 + 7)
  • 12 × 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1 + 4)
  • 13 × 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1 + 1)
  • 14 × 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1 + 8)
    On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre n en (n-1), l'unité « passant devant ».

Multiplications de 15 à 21[modifier | modifier le code]

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre n se transforme en (n-2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions) :

  • 15 × 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2+5)
  • 16 × 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2+2)
  • 17 × 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2+(-1))
    La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2+(-1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.
  • 18 × 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2+6)
  • 19 × 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2+3)
  • 20 × 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2+0)
  • 21 × 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2+7)
    La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre n en (n-2), le 2 « passant devant ».

Multiplications suivantes[modifier | modifier le code]

  • Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre n devient (n-3), le 3 passant devant.
  • Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre n devient (n-4), le 4 passant devant.
  • Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier n peut s'écrire de façon unique (7 × a + b), a étant un nombre entier et b un nombre entier compris entre 0 et 6 (par simple division euclidienne par 7).

La multiplication par n devient :

n × 142 857 = (7 × a + b) × 142 857
= a × (7 × 142 857) + b × 142 857
= a × (999 999) + b × 142 857
= (a × 1 000 000 - a) + b × 142 857

Le nombre b étant compris entre 0 et 6, le produit b × 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (a × 1 000 000 - a) explique la décomposition du dernier chiffre n de la permutation en (n - a) et a « passant devant » (a millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

Addition et carré[modifier | modifier le code]

142 857² = 20 408 122 449
20 408 + 122 449 = 142 857
20 + 408 + 122 + 449 = 999

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999[modifier | modifier le code]

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10^n - 1 :

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9
14 + 28 + 57 = 99
142 + 857 = 999
142 857 × 7 = 999 999

Elles sont liées au fait que 142 857 est la période du développement décimal de la fraction 1 / 7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1/n par exemple :

  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

2^1 \mod 9 \equiv 2
2^2 \mod 9 \equiv 4
2^3 \mod 9 \equiv 8
2^4 \mod 9 \equiv 7
2^5 \mod 9 \equiv 5
2^6 \mod 9 \equiv 1

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 × 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 × 7 × n = n × 1000000 - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142 857.

Nombre de Kaprekar[modifier | modifier le code]

142 857 est un nombre de Kaprekar (en base 10) :

142 8572 = 20 408 122 449
142 857 = 20 408 + 122 449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142 857 avec un éventuel décalage (donc 142 857 × 1, 2, … ou 6) ou 999 999 (= 142 857 × 7). Par exemple :

142 857 × 56 = 7 999 992
⇒ 7 + 999 992 = 999 999 = 142 857 × 7
142 857 × 125 = 17 857 125
⇒ 17 + 857 125 = 857 142 = 142 857 × 6
142 857 × 7 841 131 285 974 854 689 745 213 = 1 120 160 492 120 509 816 412 931 893 541
⇒ 1 + 120 160 + 492 120 + 509 816 + 412 931 + 893 541 = 2 428 569
⇒ 2 + 428 569 = 428 571 = 142 857 × 3

On notera également

142 8574 = 416 491 461 893 377 757 601
142 857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757 601

et

142 8578 = 173 465 137 830 082 936 774 412 507 898 191 113 275 201
142 857 × 15 = 173 465 + 137 830 + 082 936 + 77 4412 + 507 898 + 191 113 + 275 201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

  • 333 (de 1/3)
  • 09 (de 1/11)
  • 047 619 (de 1/19)

Nombre Harshad[modifier | modifier le code]

142 857 est un nombre Harshad :

142857 = 5291 × (1+4+2+8+5+7)

Nombre jumeau et la roue de six[modifier | modifier le code]

La roue de six

326 451 peut être considéré comme le jumeau de 142 857 :

  • D'une part :
    142 857 × 3 = 428 571
    142 857 × 2 = 285 714
    142 857 × 6 = 857 142
    142 857 × 4 = 571 428
    142 857 × 5 = 714 285
    142 857 × 1 = 142 857
  • D'autre part :
    10 = 3 + (7 × 1)
    100 = 2 + (7 × 14)
    1 000 = 6 + (7 × 142)
    10 000 = 4 + (7 × 1 428)
    100 000 = 5 + (7 × 14 285)
    1 000 000 = 1 + (7 × 142 857)

On peut visualiser certaines propriétés de 142 857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Sa décomposition en produit de facteurs premiers est :

142 857 = 33 × 11 × 13 × 37

En littérature[modifier | modifier le code]

Le nombre 142 857 apparaît dans la Trilogie du cycle des dieux de Bernard Werber comme le numéro de chambre de Michael Pinson et le fait réfléchir à toutes ses caractéristiques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]