Nombre de Kaprekar

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

Un nombre de Kaprekar est un nombre qui, dans une base donnée, lorsqu'il est élevé au carré, peut être séparé en une partie gauche et une partie droite (non nulle) telles que la somme donne le nombre initial.

Exemples
703 est un nombre de Kaprekar en base 10 car 703² = 494 209 et que 494 + 209 = 703.
4879 est un nombre de Kaprekar en base 10 car 4879² = 23 804 641 et 238 + 04641 = 4879.

Les nombres de Kaprekar ont été principalement étudiés par D.R. Kaprekar, mathématicien indien.

n-nombre de Kaprekar[modifier | modifier le code]

Soit n un entier naturel non nul, k est un n-nombre de Kaprekar dans la base a si et seulement s'il existe deux entiers naturels u quelconque et v strictement compris entre 0 et an tels que

k^2 = u.a^n + v
k = u + v

La liste des premiers n-nombres de Kaprekar dans la base 10 est la suivante[1] :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

Dans l'inventaire que fait, en 1980, D.R. Kaprekar[2], il oublie étonnamment tous les nombres de la forme 10^n - 1 ainsi que les nombres 181819 et 818181. L'oubli est rectifié en 1981 par M. Charosh[3] qui met au point une méthode de génération de grands nombres de Kaprekar.

En 2000, Douglas Iannucci[4], dans le Journal of Integer Sequences, démontre que les n-nombres de Kaprekar de base 10 sont en bijection avec les diviseurs unitaires de 10^n-1 et montre comment les obtenir à partir de la décomposition en facteurs premiers de 10^n-1. Il démontre en outre que, si k est un n-nombre de Kaprekar, il en est de même de 10^n - k

Exemple
pour n = 2, 10^2-1 = 99 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1
99 = 9 × 11. Or 45 est le plus petit multiple de 9 congru à 1 modulo 11 et 45 est un 2-nombre de Kaprekar.
99 = 11 × 9. Or 55 est le plus petit multiple de 11 congru à 1 modulo 9 et 55 est un 2-nombre de Kaprekar
On remarque de plus que 55 + 45 = 10^2.
pour n = 3, 10^3-1 = 999 qui se divise de 2 façons à l'aide de diviseurs unitaires distincts de 1
999 = 27 × 37. Or 297 est le plus petit multiple de 27 congru à 1 modulo 37 et 297 est un 3-nombre de Kaprekar.
999 = 37 × 27 et 703 est le plus petit multiple de 37 congru à 1 modulo 27 et 703 est un 3-nombre de Kaprekar.
Enfin, on remarque que 297 + 703 = 10^3.

Iannucci démontre d'autre part que les nombres de Kaprekar en base 2 sont tous les nombres parfaits pairs.

Nombre de Kaprekar naturel[modifier | modifier le code]

Certains articles imposent aux carrés des nombres de Kaprekar une décomposition en deux parties de tailles quasi-égales. En fait, un entier naturel k de n chiffres est dit de Kaprekar naturel si son carré se décompose en une partie droite de n chiffres et une partie gauche de n ou n - 1 chiffres telles que leur somme donne k. En imposant cette condition supplémentaire, la liste des nombres de Kaprekar se trouve être amoindrie

Liste des premiers nombres de Kaprekar naturels en base 10:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 77778,....

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) suite A006886 de l'OEIS.
  2. (en) D. R. Kaprekar, « On Kaprekar numbers », Journal of Recreational Mathematics, vol. 13,‎ 1980–1981, p. 81-82.
  3. (en) M. Charosh, « Some Applications of Casting Out 999…'s », Journal of Recreational Mathematics, vol. 14,‎ 1981-1982, p. 111-118.
  4. (en) Douglas E. Iannucci, « The Kaprekar Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3,‎ 2000 (lire en ligne).