Nombre triangulaire

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Représentation figurée des quatre premiers nombres triangulaires.
Le septième nombre triangulaire est 28.

En arithmétique, un nombre triangulaire est un cas particulier de nombre polygonal. Il correspond à un entier strictement positif égal au nombre de pastilles dans un triangle construit à la manière de la figure de droite. Cette figure montre que 28 est le septième nombre triangulaire, ou encore le nombre triangulaire d'indice 7. Une définition plus formelle s'obtient par récurrence : le nombre triangulaire d'indice 1 est égal à 1, et un nombre triangulaire est égal à son prédécesseur additionné de son indice. Les dix premiers nombres triangulaires sont : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 (suite A000217 de l'OEIS). Il existe différentes manières de calculer le nombre triangulaire d'indice n, l'une d'elle est graphique et s'obtient par un raisonnement d'arithmétique géométrique. On trouve, si tn désigne le nombre triangulaire d'indice n :

\forall n\in\N^*\quad t_n=\frac{n(n+1)}2.

Cette formule est ancienne — on la doit à l'école de Pythagore — et probablement connue depuis le début du Ve siècle av. J.-C.

Définition et calculs[modifier | modifier le code]

Définitions[modifier | modifier le code]

Le n-ième nombre triangulaire s'obtient en ajoutant n au précédent et est donc la somme des entiers de 1 à n.

Formellement, un nombre triangulaire se définit comme une suite, notée (tn) dans cet article, où n est un indice[1] parcourant les entiers strictement positifs :

Définition[2] — Le nombre triangulaire d'indice n, où n est un entier strictement positif, est[3] la somme des entiers de 1 à n.

Une autre manière de définir cette suite est une récurrence. Les deux formulations sont équivalentes :

Définition[4] — Le nombre triangulaire d'indice 1 est 1 ; le nombre triangulaire d'indice n est défini par la formule suivante :

t_1 = 1 \quad\text{et}\quad \forall n \in \mathbb N^* \quad t_n = 1 + 2 + \cdots + (n-1) + n = t_{n-1} + n.

Chez les Pythagoriciens, le quatrième nombre triangulaire, c'est-à-dire 10 est nommé tetraktys. Il dispose d'une dimension symbolique[5].

Remarque : Le choix de ne pas définir le nombre triangulaire d'indice 0 se justifie historiquement, le zéro n'existant pas chez les Grecs de l'Antiquité. Cette convention est choisie pour certaines présentations didactiques[2]. Elle est aussi choisie historiquement dans l'encyclopédie de Diderot et D'Alembert pour tous les nombres figurés[6]. Mais elle n'est pas toujours suivie. Si l'on admet 0 comme nombre triangulaire, tout entier positif est somme de trois nombres triangulaires. Cette raison pousse Fermat et Gauss à choisir d'accepter 0 comme nombre triangulaire[7].

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

Une vieille méthode de calcul provient de l'école pythagoricienne[8]. Les Grecs de cette époque usaient de géométrie pour résoudre les questions de cette nature. Cette approche est qualifiée d'arithmétique géométrique. La figure de droite permet de comprendre comment ils calculaient le nombre triangulaire d'indice 8. La zone rouge de la figure correspond au nombre triangulaire d'indice 8, c'est-à-dire la somme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8. À cette zone rouge, on accole la zone bleue de la figure, contenant exactement le même nombre de pastilles que la rouge. Cette zone contient un nombre de pastilles égal à deux fois le nombre triangulaire d'indice 8, ou encore 8 × 9 pastilles. Ce résultat est obtenu en remarquant que la zone bleu et rouge est un rectangle de base 9 et de hauteur 8. Le double du nombre triangulaire d'indice 8 est égal à 8 × 9 = 72, ce nombre est égal à 36. On retrouve bien la formule annoncée en introduction.

Une légende infondée[9],[10],[11],[12] prête à Gauss l'exploit suivant. Alors que Gauss avait huit ans, son maître d'école Büttner demanda aux élèves de sa classe d'additionner tous les nombres de 1 à 100. Gauss additionne 1 avec 100, puis 2 avec 99, puis 3 avec 98 et ainsi de suite jusqu'à 50 avec 51. Il obtient une somme de 50 fois la valeur 101, soit 5 050. Seule l'anecdote est infondée ; la méthode, en revanche, est correcte.

Une autre méthode consiste à utiliser une récurrence pour montrer la formule de sommation de l'introduction. À l'ordre 1, la formule est manifestement exacte. On la suppose vraie à l'ordre n – 1 :

u_n = u_{n-1} + n = \frac {(n - 1)n}2 + n = \frac {n^2 - n}2 + \frac {2n}2 = \frac {n^2 + n}2 = \frac {n(n+1)}2 = {n+1 \choose 2}.

Le dernier terme est l'expression du nombre triangulaire d'indice n sous la forme d'un coefficient binomial. Il correspond au nombre de paires distinctes contenues dans un ensemble à n + 1 éléments.

Résultats géométriques[modifier | modifier le code]

Les Grecs de l'école de Pythagore n'avaient pas connaissance des théorèmes fondamentaux de l'arithmétique élémentaire, comme le lemme d'Euclide, le théorème de Bachet-Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Ils ont développé une arithmétique différente et les résultats présentés ici sont un peu à l'image de leur conception de l'arithmétique[13]. Néanmoins, comme il n'existe pas de texte directement écrit sur cette question par les membres de cette école, il est difficile de relier des résultats précis à des dates ou des noms de membres de l'école[14], ainsi que d'être catégorique sur le fait qu'un résultat était bien connu d'eux.

Somme de deux nombres triangulaires consécutifs[modifier | modifier le code]

La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un nombre carré.

La figure de droite montre que la somme du quatrième et du cinquième nombre triangulaire forme le cinquième carré parfait, c'est-à-dire 25. Ce résultat n'est pas uniquement vrai pour la valeur cinq :

Proposition — Pour tout entier n > 0, la somme des deux nombres triangulaires d'indices n et n + 1 est égale à (n + 1) × (n + 1), c'est-à-dire au carré de n + 1.

La formule précédente permet d'établir ce résultat :

u_n + u_{n+1} = \frac {n(n+1)}2 + \frac {(n+1)(n+2)}2 = \frac {n+1}2(n + n + 2) = 2(n+1)\frac {n+1}2 = (n+1)^2.

Un nombre triangulaire est somme de quatre nombres triangulaires[modifier | modifier le code]

Cas pair.
Cas impair.

Les deux graphiques du paragraphe indiquent que le nombre triangulaire d'indice n est somme de quatre nombres triangulaires. Ceci est vrai quelle que soit la parité de l'indice n. En effet, u14 est la somme de trois fois u7 et de u6 et u15 est la somme trois fois u7 et de u8. Cette proposition s'exprime de la manière suivante :

Proposition[4] — Pour tout entier n > 0, u2n et u2n + 1 sont somme de quatre nombres triangulaires. Plus précisément :

u_{2n} = 3u_n + u_{n-1}\quad\text{et}\quad u_{2n+1} = 3u_n + u_{n+1}.

En effet :

2(3u_n + u_{n-1}) = 3n(n+1) + n(n-1) = 4n^2 + 2n = 2(2n^2 + n) = 2n(2n+1)=2u_{2n},
2(3u_n + u_{n+1}) = 3n(n+1) + (n+1)(n+2) = 4n^2 + 6n + 2 = (2n+1)(2n+2)=2u_{2n+1}.

Un carré parfait avec un unique nombre triangulaire[modifier | modifier le code]

La somme de 8 fois un nombre triangulaire et de 1 est un nombre carré.

La figure de droite montre qu'il est possible d'emboiter huit nombres triangulaires d'indice 7 pour former un carré de côté 15, auquel il manque la pastille centrale, en gris sur la figure. Une fois encore, ce résultat se généralise :

Proposition[4] — Pour tout entier n > 0, le carré parfait (2n + 1)2 est la somme de 8 fois un et de 1 :

8u_n + 1 = (2n+1)^2.

En effet, ce résultat est directement l'application d'une identité remarquable :

8u_n + 1 = 4n(n+1) +1 = 4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2.

Cube et nombre triangulaire[modifier | modifier le code]

Un autre résultat traite des cubes. Il s'énonce ainsi :

Proposition[4] — Si n est un entier supérieur à deux, la différence entre les carrés du nombre triangulaire d'indice n et n – 1 est égale au cube de n.

Cette figure illustre[incompréhensible] le fait que le carré du n-ième nombre triangulaire est la somme des n premiers cubes.

Il est découvert par le mathématicien arabe Al-Karaji[15], qui l'exprime d'une manière presque équivalente :

Proposition — Si n est un entier strictement positif, la somme des n premiers cubes positifs est le carré du nombre triangulaire d'indice n.

L'illustration géométrique à droite permet de se convaincre de la véracité de ses propositions. L'aire de la zone orange de la figure est appelée nombre gnomonique. Elle est constituée de deux rectangles de base 4 et de côté le nombre triangulaire d'indice 4, c'est-à-dire 10. Ces deux rectangles se recoupent sur un carré de côté 4, on en déduit que l'aire orange est égale à 5 × 4 × 4 – 4 × 4, ou encore 43. Ce raisonnement est valable sur chaque nombre gnomonique, l'aire du carré de côté le nombre triangulaire d'indice 4 est égal la somme des 4 premiers cubes. De cette démonstration d'Al-Karaji, on déduit la première proposition.

On peut aussi raisonner algébriquement à partir de la première proposition :

u_n^2 -u_{n-1}^2 = \frac 14\Big(n^2(n+1)^2 - n^2(n-1)^2\Big) = \frac 14n^2\Big((n+1)^2 - (n-1)^2)\Big) = n^3.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Généralisations[modifier | modifier le code]

Si, au lieu de calculer la somme des n premiers nombres entiers strictement positifs, on calcule les n premiers carrés strictement positifs que l'on appelle cn, on obtient :

c_n = \frac {n(n+1)(2n+1)}6.

L'intuition de l'exactitude de cette formule est donnée par la preuve sans mots suivante[16] :

Chacune des trois pyramides a pour volume la somme des carrés de 1 à n (n = 4 dans cette illustration) ; le parallélépipède final est de côtés n, n + 1 et n + 1/2.

Ce résultat se généralise pour la somme des n premières puissances strictement positives. Cette somme porte le nom de formule de Faulhaber. Il est aussi possible de généraliser en considérant le nombre de points sn,d contenus dans un simplexe dont les côtés sont de longueurs n, dans un espace de dimension d. On obtient :

s_{n,d} = \frac {n(n+1)\cdots(n+(d-1))} {d!}.

Entier somme de trois nombres triangulaires[modifier | modifier le code]

A condition de considérer zéro comme un nombre triangulaire, Pierre de Fermat (1601?-1665) conjectura que tout entier est somme de trois nombres triangulaires. La preuve de l'exactitude de cette conjecture fut apportée à la fin du XVIIIe siècle par Gauss[7].

La démonstration ici n'est pas géométrique. L'arithmétique telle qu'on la concevait à l'époque de Pythagore est impuissante pour prouver des résultats de cette nature. La partie difficile de la preuve est le théorème des trois carrés de Legendre, qui a pour conséquence que tout entier positif congru à 3 modulo 8 est somme de trois carrés parfaits. Soit M un nombre entier positif, 8M + 3 est somme de trois carrés. De plus chaque carré de la somme est impair, sinon leur somme ne serait pas congrue à 3 modulo 4. On en déduit l'existence de trois entiers x, y et z tels que :

8M+3 = (2x+1)^2 + (2y+1)^2 + (2z + 1)^2 = 8\left(\frac {x(x+1)}2 + \frac {y(y+1)}2 + \frac {z(z+1)}2\right) + 3.

Cette dernière égalité implique le résultat recherché : M est la somme des trois nombres triangulaires d'indice x, y et z.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Le terme d'indice est celui souvent utilisé pour les suites : Axel Delmotte, William Seck et Hubert Silly, Réussir les tests d'entrée des 3e cycles et écoles de gestion, Jeunes Editions, 2005 (ISBN 978-2844725769), p. 67. D'autres auteurs[Lesquels ?] parlent néanmoins de rang et non pas d'indice.
  2. a et b Gérard Villemin Nombre triangulaire Nombres - Curiosités, théorie et usages (2007)
  3. C'est donc le prototype de la somme des termes d'une suite arithmétique.
  4. a, b, c et d Gérard Villemin Nombre triangulaire Nombres - Curiosités, théorie et usages (2007)
  5. (en) Walter Burkert, Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, HUP,‎ 1972 (ISBN 978-0674539181, lire en ligne), p. 463[Informations douteuses].
  6. Denis Diderot Jean le Rond D'Alembert Encyclopédie ou dictionnaire raisonné des sciences des arts et des métiers (1781)
  7. a et b C. F. Gauss, Recherches arithmétiques, p. 353 de la traduction de 1807.
  8. (en) Thomas Little Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 1 : From Thales to Euclid, CUP,‎ 2013 (1re éd. 1921) (ISBN 978-1-10806306-7, lire en ligne), p. 76-77.
  9. Brian Hayes (en) a recensé 111 versions différentes de cette légende, toutes aussi romancées (voir son article « Gauss's Day of Reckoning » dans American Scientist, vol. 94, n° 3, mai-juin 2006 DOI:10.1511/2006.3.200).
  10. L'origine de l'information remonte à l'essai biographique sur Gauss écrit par Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis, 1856, p. 12-13 ; les nombres de 1 à 100 ne sont pas indiqués, ni la méthode pour y parvenir.
  11. « Si non è vero, è bene trovato », sur UJF Grenoble,‎ 2011.
  12. Thérèse Eveilleau, « L'escalier des entiers », sur Mathématiques magiques, présente une version de plus de cette anecdote et des exemples d'application de cette méthode.
  13. Burkert 1972, p. 427-446.
  14. Dans Burkert 1972, p. 439, on trouve :[Informations douteuses] « The only certainty about the discovery of irrationality is that Theodorus of Cyrene proved that √n (for n = 3, ... 17 and not a perfect square) is irrational. »
  15. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales,‎ 1986 [détail des éditions], p. 90.
  16. Elle provient de (en) Roger B. Nelsen, Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, MAA,‎ 1997 (ISBN 978-0883857007).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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