Nombre triangulaire centré

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Les quatre premiers nombres triangulaires centrés sont
1,
1 + 3 = 4,
4 + 6 = 10 et
10 + 9 = 19.

Un nombre triangulaire centré est un nombre figuré qui peut être représenté par un triangle avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre triangulaire centré est donc égal à 1 + 3 fois le (n – 1)-ième nombre triangulaire régulier[1] :

C_{3,n}=1+3T_{n-1}=1+3\,\frac{n(n-1)}2={3n^2-3n+2\over2}.

L'image ci-contre montre la construction des nombres triangulaires centrés : à chaque étape, la figure est entourée d'un nouveau triangle de couleur différente.

Les dix premiers[2] nombres triangulaires centrés sont 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109 et 136.

Tout nombre triangulaire centré supérieur ou égal à 10 est la somme de trois nombres triangulaires réguliers consécutifs : \forall n\ge3\quad C_{3,n}=T_{n-2}+T_{n-1}+T_n. Pour tout n ≥ 1, la somme des n premiers nombres triangulaires centrés est égale à n(n2 + 1)/2. Si n ≠ 2, ce nombre est la constante magique de tout carré magique normal d'ordre n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered triangular number » (voir la liste des auteurs).

  1. Suite A005448 de l'OEIS.
  2. Pour les 1 000 premiers, voir ce lien de la suite A005448 de l'OEIS.