Nombre tétraédrique

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Un tétraèdre à 35 sphères. Chaque niveau représente un des 5 premiers nombres triangulaires.

Un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide avec une base et trois côtés, c'est-à-dire, un tétraèdre. Pour tout entier naturel non nul n, le nombre tétraédrique de rang n, est la somme des n premiers nombres triangulaires.

On démontre que le nombre tétraédrique de rang n est égal à :

\frac{n(n+1)(n+2)}{6},
soit {n+2 \choose 3}, où {i \choose j} est le symbole du coefficient binomial.

Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les premiers nombres tétraédriques sont :

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969.

Les nombres tétraédriques peuvent être représentés dans l'espace ordinaire de dimension trois. Par exemple, le nombre tétraédrique 35 peut être représenté par un assemblage de 35 boules de billard. Le « triangle » (armature triangulaire standard du jeu de billard) contient 15 boules. Dix boules supplémentaires sont alors empilées au-dessus de celles-ci, ensuite six de plus forment un autre étage, puis encore trois boules et enfin une complètent le tétraèdre.

La parité des nombres tétraédriques suit le modèle impair-pair-pair-pair.

En 1878, A. J. Meyl a démontré qu'il y a seulement trois nombres tétraédriques qui sont également carrés, à savoir, 1, 4 et 19600. Jusqu'ici, le seul nombre tétraédrique connu qui soit aussi un nombre pyramidal carré est 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]


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