Nombre polygonal

En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en arrangeant d'une certaine manière des cailloux ou des graines. Par exemple, le nombre 10, peut être représenté par un triangle

Article détaillé : nombre triangulaire.

Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré, alors que le nombre 9, peut se représenter en disposant des croix pour former un carré.

Article détaillé : nombre carré.

Certains nombres, comme 36, peuvent être à la fois représentés par un carré et un triangle.

Article détaillé : nombre carré triangulaire.

La méthode pour agrandir un polygone consiste à prolonger deux côtés adjacents d'un seul point, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes suivants, chaque couche supplémentaire est représentée par un point rouge.

Nombres triangulaires

1		3		6		10

Nombres carrés

1		4		9		16

Nombres hexagonaux

1		6		15		28

Si $c$ est le nombre de côtés d'un polygone, alors le nombre $c$-polygonal de rang $n$ correspondant est :

${1 \over 2}\ n\ \left[\ (c-2)n-(c-4)\ \right]$.

Par convention 1 est le premier nombre polygonal pour n'importe quel nombre de côtés).

Nom	Nombre	n=1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
triangulaire	½n(1n + 1)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78	91
carré	½n(2n - 0)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169
pentagonal	½n(3n - 1)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	176	210	247
hexagonal	½n(4n - 2)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	231	276	325
heptagonal	½n(5n - 3)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	286	342	403
octogonal	½n(6n - 4)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	341	408	481
ennéagonal	½n(7n - 5)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	396	474	559
décagonal	½n(8n - 6)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	451	540	637
undécagonal	½n(9n - 7)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	506	606	715
dodécagonal	½n(10n - 8)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	561	672	793
triskaidécagonal	½n(11n - 9)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	616	738	871
14-gonal	½n(12n - 10)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	671	804	949
15-gonal	½n(13n - 11)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	726	870	1027
16-gonal	½n(14n - 12)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	781	936	1105
17-gonal	½n(15n - 13)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	836	1002	1183
18-gonal	½n(16n - 14)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	891	1068	1261
19-gonal	½n(17n - 15)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	946	1134	1339
20-gonal	½n(18n - 16)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	1001	1200	1417
21-gonal	½n(19n - 17)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	1056	1266	1495
22-gonal	½n(20n - 18)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	1111	1332	1573
23-gonal	½n(21n - 19)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	1166	1398	1651
24-gonal	½n(22n - 20)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	1221	1464	1729
25-gonal	½n(23n - 21)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	1276	1530	1807
26-gonal	½n(24n - 22)	1	26	75	148	245	366	511	680	873	1090	1331	1596	1885
27-gonal	½n(25n - 23)	1	27	78	154	255	381	532	708	909	1135	1386	1662	1963
28-gonal	½n(26n - 24)	1	28	81	160	265	396	553	736	945	1180	1441	1728	2041
29-gonal	½n(27n - 25)	1	29	84	166	275	411	574	764	981	1225	1496	1794	2119
30-gonal	½n(28n - 26)	1	30	87	172	285	426	595	792	1017	1270	1551	1860	2197

L'encyclopédie électronique des suites entières évite les termes utilisant des préfixes grecs (comme par exemple, « octogonal ») et utilise de préférence des termes utilisant des préfixes numériques (comme « 8-gonal »).

Intérêt

Outre divers jeux aritmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Théorème de Fermat-Cauchy

Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ainsi, tout entier positif est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires, 4 carrés... ou 10 nombres décagonaux.

Par exemple :

17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires)

17 = 16 + 1 (nombres carrés)

17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat. Joseph Louis Lagrange a ensuite établi en 1770 son théorème des quatre carrés : Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Ainsi 7 = 4+1+1+1.

Puis en 1796 Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Références

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4]. (Le dictionnaire Penguin des nombres curieux et intéressants)
• (en) Les nombres polygonaux à MathWorld
• (en) Théorème de Fermat-Cauchy sur les nombres polygonaux