Nombre polygonal

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En mathématiques, un nombre polygonal est un nombre figuré qui peut être représenté par un polygone régulier. Les mathématiciens antiques ont découvert que des nombres pouvaient être représentés en arrangeant d'une certaine manière des cailloux ou des graines. Par exemple, le nombre 10, peut être représenté par un triangle

Article détaillé : nombre triangulaire.
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Mais 10 ne peut pas être représenté par un carré, alors que le nombre 9, peut se représenter en disposant des croix pour former un carré.

Article détaillé : nombre carré.
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Certains nombres, comme 36, peuvent être à la fois représentés par un carré et un triangle.

Article détaillé : nombre carré triangulaire.
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La méthode pour agrandir un polygone consiste à prolonger deux côtés adjacents d'un seul point, puis à compléter la figure par des points pour obtenir les côtés supplémentaires manquants. Dans les diagrammes suivants, chaque couche supplémentaire est représentée par des points rouges. Pour le n-ième nombre k-gonal, le nombre de points rouges est 1 + (k – 2)(n – 1).

Nombres triangulaires
1 3 6 10
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Nombres carrés
1 4 9 16
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Nombres hexagonaux
1 6 15 28
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Pour tout entier k ≥ 3, le premier nombre k-gonal est Pk,1 = 1, le deuxième est Pk,k = k, le n-ième est

P_{k,n}=\sum_{i=1}^n\left(1+(k-2)(i-1)\right)=n+(k-2)\ \frac{n(n-1)}2=n\ \frac{(k-2)n-(k-4)}2=n+(k-2)P_{3,n-1}.

Si k est impair, (k-2)P_{k,n}+\frac{(k-3)(k-5)}8=P_{3,(k-2)n-(k-3)/2}.

Nom Nombre n=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
triangulaire ½n(1n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105
carré ½n(2n - 0) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196
pentagonal ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247 287
hexagonal ½n(4n - 2) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325 378
heptagonal ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403 469
octogonal ½n(6n - 4) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481 560
ennéagonal ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559 651
décagonal ½n(8n - 6) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637 742
undécagonal ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715 847
dodécagonal ½n(10n - 8) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793 924
triskaidécagonal ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871 1015
14-gonal ½n(12n - 10) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949 1106
15-gonal ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027 1197
16-gonal ½n(14n - 12) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105 1288
17-gonal ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183 1379
18-gonal ½n(16n - 14) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261 1470
19-gonal ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339 1561
20-gonal ½n(18n - 16) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417 1652
21-gonal ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495 1743
22-gonal ½n(20n - 18) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573 1834
23-gonal ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651 1925
24-gonal ½n(22n - 20) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729 2016
25-gonal ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 1276 1530 1807 2107
26-gonal ½n(24n - 22) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885 2198
27-gonal ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963 2289
28-gonal ½n(26n - 24) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041 2380
29-gonal ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119 2471
30-gonal ½n(28n - 26) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197 2562

L'encyclopédie électronique des suites entières évite les termes utilisant des préfixes grecs (comme « octogonal ») et utilise de préférence des termes utilisant des préfixes numériques (comme « 8-gonal »).

Intérêt[modifier | modifier le code]

Outre divers jeux arithmético-géométriques, nous avons en arithmétique additive / combinatoire additive le puissant théorème suivant.

Théorème de Fermat-Cauchy[modifier | modifier le code]

Théorème des nombres polygonaux (en) : Tout entier naturel est la somme d'au plus k nombres k-gonaux.

Ainsi, tout entier positif est la somme d'au plus 3 nombres triangulaires, 4 carrés… ou 10 nombres décagonaux.

Par exemple :

17 = 10 + 6 + 1 (nombres triangulaires)
17 = 16 + 1 (nombres carrés)
17 = 12 + 5 (nombres pentagonaux).

Ce théorème a d'abord été énoncé sans preuve par Pierre de Fermat, qui proclama son intention d'écrire un livre qui révolutionnerait cette partie de l'arithmétique[1], mais aucun livre ne parut.

Joseph Louis Lagrange a ensuite établi, en 1770, son théorème des quatre carrés : Tout entier positif est la somme de 4 carrés parfaits au plus.

Ainsi, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Puis, en 1796, Gauss traita le cas des nombres triangulaires.

Enfin, le théorème fut intégralement prouvé par Cauchy en 1813.

Références et note[modifier | modifier le code]