Identité remarquable

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En mathématiques, on appelle identités remarquables ou encore égalités remarquables certaines égalités qui s'appliquent à des nombres. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions. Elles servent pour la résolution des équations du second degré et sont plus généralement utiles pour la recherche de solutions d'équations[Note 1].

La plupart de ces identités remarquables ont tout d'abord été démontrées à l'aide de raisonnements géométriques puis ont été généralisées à des puissances supérieures par des calculs algébriques.

Identités remarquables du second degré[modifier | modifier le code]

Dans toute la suite, a et b désignent des nombres, qui peuvent être des entiers, des rationnels et réels, ou même des complexes. Ces identités sont vraies dans un cadre général : elles sont aussi valables dans un anneau, à condition que a et b commutent[1].

Énoncés[modifier | modifier le code]

Les trois identités remarquables du second degré sont[2] :

 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
 (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
 (a+b)(a-b) = a^2 - b^2.

La deuxième de ces identités peut être vue comme un cas particulier de la première, en prenant, au lieu de b, –b dans la première égalité. Ces égalités font l'objet d'un vocabulaire spécifique :

Définition d'un produit remarquable[2] — Les trois expressions suivantes sont appelées produit remarquable :

 (a+b)^2,\quad (a-b)^2\quad\text{et}\quad (a-b)(a+b).

On définit de même :

Définition d'une somme remarquable[2] — Les trois expressions suivantes sont appelées somme remarquable :

 a^2 + 2ab + b^2,\quad a^2 - 2ab + b^2\quad\text{et}\quad a^2 - b^2.

Exemples[modifier | modifier le code]

Développement et réduction[modifier | modifier le code]

Les identités remarquables permettent de transformer l'écriture de certaines expressions algébriques, comme dans l'exemple suivant[3] :

A=(2x - 3)^2 + (x+5)(3-x).

L'expression A est la somme de deux termes. Le premier terme est un produit remarquable, que l'on peut transformer en somme :

(2x -3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\quad\text{et}\quad A = 4x^2 - 12x + 9 + (x+5)(3-x).

Le deuxième terme se traite à l'aide de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition :

(x+5)(3-x) = x(3-x)+5(3-x)=3x -x^2 + 15 - 5x = -x^2 -2x + 15.

En additionnant termes à termes, on obtient :

A=4x^2 - 12x + 9-x^2 -2x + 15 = 3x^2 -14x + 24.

Équation du second degré[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Équation du second degré.

Les identités remarquables permettent de résoudre une équation du second degré. Illustrons la méthode sur l'exemple suivant :

x^2 +2x - 5 = 0.

La méthode consiste à travailler la partie de l'expression qui ne dépend pas de x de manière à utiliser une des deux premières identités remarquables et factoriser la partie qui dépend de x :

x^2 + 2x - 5 = x^2 + 2x + 1 -6.

Les trois premiers termes sont maintenant une somme remarquable, il est possible d'appliquer une identité remarquable et l'équation devient :

x^2 + 2x - 5 = (x +1)^2 - 6 = (x +1)^2 - (\sqrt 6)^2 = 0.

On reconnaît une nouvelle somme remarquable, l'équation s'écrit encore :

x^2 + 2x - 5  =(x+1 + \sqrt 6)(x+1- \sqrt 6)=0.

Un produit a.b de deux nombres a et b est nul si, et seulement si, a ou b est nul[Note 2]. Résoudre l'équation revient à résoudre deux équations du premier degré :

(1)\; x +1 + \sqrt 6 = 0 \quad\text{et}\quad (2)\; x +1 - \sqrt 6 = 0.

On trouve les deux solutions de l'équation, appelées aussi racines du polynômes :

x_1 = -1 - \sqrt 6 \quad\text{et}\quad x_2 = -1 + \sqrt 6.

Polynômes au carré[modifier | modifier le code]

Pour élever un polynôme avec un nombre quelconque de termes, ajouter les carrés de chaque terme individuellement, puis ajouter le double de la somme des produits de chaque paire possible de termes.

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + ac + bc),
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd).

Identité remarquable et géométrie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Algèbre géométrique.
Binom square.png

Ces identités remarquables sont connues depuis les babyloniens[4]. Il est possible qu'ils se soient rendu compte de ces égalités à l'aide de raisonnements géométriques. Il existe une méthode simple pour trouver la formule suivante[Note 3] :

(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2.

La figure de droite représente un carré. On suppose que la longueur du côté du carré rose est égale à a et celle du carré bleu à b. L'aire du grand carré est égale à (a + b)2. Il existe une autre manière d'exprimer cette aire : elle est la somme des aires des zones rose, bleue et des deux zones jaunes. L'aire rose est égale à a2 car c'est un carré de côté a, l'aire bleue est égale à b2, et chacune des deux aires jaunes est égale à ab car c'est un rectangle de côtés a et b. On obtient bien la formule annoncée.

Démonstration par l'algèbre[modifier | modifier le code]

L'algèbre permet encore de démontrer ces formules. Calculons (a - b)2. La distributivité montre que :

(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a(a-b) - b(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2.

On démontre de même la troisième identité remarquable :

(a+b)(a-b)= a(a-b) + b(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2.

Identités remarquables diverses[modifier | modifier le code]

Identité de Brahmagupta[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identité de Brahmagupta.

Brahmagupta, un mathématicien indien du VIe siècle découvre une identité remarquable du quatrième degré[5] :

\left(a^2 - n\cdot b^2\right)\left(c^2 - n\cdot d^2\right) = \left(ac+n\cdot bd\right)^2 - n\cdot \left(ad+bc\right)^2.

Brahmagupta l'utilise dans le cas où a, b, c, d et n sont des nombres entiers. Elle permet de calculer une bonne approximation d'une racine. Pour calculer 3, il remarque que 22 - 3.12 = 1. Il applique son identité plusieurs fois, toujours avec n = 3. La première fois, il pose a = c = 2, b = d = 1. Il obtient :

(2^2 - 3\cdot1)(2^2 - 3\cdot1)=(2\cdot2 + 3\cdot1)^2 - 3\cdot(2\cdot1 + 1\cdot2)^2= 7^2 - 3\cdot 4^2=1.

Il recommence avec cette fois avec : a = c = 7, b = d = 4. Il obtient une nouvelle manière d'écrire 1 :

97^2 - 3\cdot 56^2 = 1.

Il réapplique la même logique, il obtient encore une autre manière d'écrire 1 :

18\,817^2 - 3\cdot 10\,864^2 = 1.

Cette égalité s'écrit encore :

18\,817^2 = 3\cdot 10\,864^2 + 1\quad\text{et}\quad \left(\frac {18\,817}{10\,864}\right)^2 = 3 + \frac 1{10\,864^2}.

Il obtient une fraction dont le carré est presque égal à 3, ce qui revient à dire que 18 817/10 864 est presque égal à 3. Si on calcule la fraction, on trouve un résultat dont les neuf premiers chiffres significatifs fournissent la meilleure approximation possible (avec le même nombre de décimales), à savoir : 1,73205081. Il utilise aussi sa formule pour trouver des solutions à une équation diophantienne difficile, dite de Pell-Fermat.

Identité des quatre carrés d'Euler[modifier | modifier le code]

L'identité des quatre carrés d'Euler relie entre eux huit nombres. Elle prend la forme suivante :

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)
=(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2
+\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.

Elle est utilisée, entre autres pour démontrer le théorème des quatre carrés qui indique que tout nombre entier est somme de quatre carrés.

Identité de Sophie Germain[modifier | modifier le code]

L'identité de Sophie Germain énonce que pour tous nombres x et y, on a :

x^4+4y^4 = (x^2 +2y^2)^2 - 4x^2y^2 = (x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy) = ((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2).

Identité d'Argand[modifier | modifier le code]

(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1.

Identité de Gauss[modifier | modifier le code]

a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=\frac12(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2].

Identités de Legendre[modifier | modifier le code]

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2),
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab,
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2).

Identités de Lagrange[modifier | modifier le code]

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2,
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2.

La première identité de Lagrange ici listée est un cas particulier de l'identité de Brahmagupta.

Identités remarquables de degré n[modifier | modifier le code]

Formule du binôme de Newton[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule du binôme.

La même technique de démonstration que celle utilisée pour les formules de degré 2 montre que, si a et b désignent toujours deux nombres :

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3,
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.

Appliqué encore une fois, on obtient :

(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 +4ab^3 + b^4,
(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 -4ab^3 + b^4.

De même,

(a + b)^5 = a^5 +5a^4b +10a^3b^2 +10a^2b^3 +5ab^4 + b^5,
(a - b)^5 = a^5 -5a^4b +10a^3b^2 -10a^2b^3 +5ab^4 - b^5.

On peut la généraliser à un degré n quelconque, à l'aide de la formule du binôme :

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k.

Les coefficients de l'expression, considérée comme un polynôme en x et en y sont appelés coefficients binomiaux. Comme y peut prendre une valeur négative, on obtient bien les deux formes précédentes.

La formule s'applique même si x et y ne sont pas des nombres. Ces lettres peuvent désigner deux matrices qui commutent entre elles. De manière générale, la formule est vraie dans un anneau, si x et y commutent.

Différence ou somme de puissances[modifier | modifier le code]

Il est aussi possible de généraliser la troisième identité remarquable de degré 2. Si a et b désignent deux nombres :

a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2),
a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2),
a^4 + b^4 = (a^2 + ab\sqrt{2}+ b^2 ) (a^2 - ab\sqrt{2} + b^2 ).

Si l'on travaille dans un ensemble qui n'est pas celui des nombres, la dernière formule n'est valable que si 2 existe, c'est-à-dire s'il existe une valeur c telle que c2 soit égal à 1 + 1. Il faut pour cela, en premier lieu, que l'élément neutre 1 de la multiplication existe.

La formule suivante permet de généraliser la démarche : pour tout entier n ≥ 2,

a^n - b^n = (a - b) (a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} ) =(a - b)\sum_{k=0}^{n-1}  a^{(n-1-k)}  b^k.

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ces informations ainsi que celles de l'article sont essentiellement extraites de Brault 2008.
  2. Voir à ce sujet l'article Équation produit-nul.
  3. Les autres formules sont proposées dans l'article Algèbre géométrique.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Les éléments pour fournir ces identités sont disponibles dans : A. Chambert-Loir, Algèbre commutative, 2005, Université de Rennes I, chap. 2.
  2. a, b et c Écriture littérale et identités remarquables par le site Wouf.
  3. Il est extrait de la page d'Y. Monka Développements, sur le site m@ths et tiques, p. 2.
  4. A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer (lb), Une histoire des mathématiques – Routes et dédales,‎ 1986 [détail des éditions], p. 74.
  5. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..