Nombre carré centré

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Un nombre carré centré est un nombre figuré centré défini de façon géométrique ou analytique, par :

Le nombre de « points » d'un carré ayant un « point » en son centre et d'autres « points » placés autour du centre à une certaine distance (associée à la norme 1) comme dans l'exemple suivant :

Zentrierte Quadratzahl.PNG

c'est-à-dire : pour tout entier strictement positif, le nombre carré centré de rang n est égal à :

n^2 + (n - 1)^2

Liste de nombres carrés centrés[modifier | modifier le code]

Les quelques premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1 013, 1 105, 1 201, 1 301, 1 405, 1 513, 1 625, 1 741, 1 861, 1 985, 2 113, 2 245, 2 381, 2 521, 2 665, 2 813, 2 965, 3 121, 3 281, 3 445, 3 613, 3 785, 3 961, 4 141, 4 325, etc.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Autrement dit :

  • Un nombre carré centré est la somme de deux nombres carrés consécutifs n^2 et (n - 1)^2. La figure suivante illustre bien ce fait :
Zentrierte Quadratzahl2.PNG


  • Un nombre carré centré peut encore s'écrire : 1 + 4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2} , et peut se représenter par :
Zentrierte Quadratzahl3.PNG
  • Les nombres carrés centrés peuvent aussi s'écrire sous la forme suivante (où n est un entier impair) :
{{n^2 + 1} \over 2}
  • Les quatre premières valeurs de n (1, 3, 5 et 7) sont figurées ci-dessous. La figure est formée en considérant un carré de n points par n points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.
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\frac{1 + 1}{2} \frac{9 + 1}{2} \frac{25 + 1}{2} \frac{49 + 1}{2}


  • Tous les nombres carrés centrés sont impairs, et en base 10 nous pouvons remarquer que leurs chiffres des unités suivent le modèle 1-5-3-5-1.
  • Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs ont reste égal à 1 lorsqu'ils sont divisés par 4. Ainsi tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs se terminent par le chiffre 1 ou 5 en base 6, 8 et 12.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]