Nombre carré centré

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Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un carré avec un point placé en son centre et tous les autres points disposés en carrés concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. :

Pour tout entier n > 0, le n-ième nombre carré est donc 1 + 4 fois la somme des entiers de 1 à n – 1 :

C_{4,n}=1+4\ \frac{n(n-1)}2=2n^2-2n+1.

Liste de nombres carrés centrés[modifier | modifier le code]

Les seize premiers nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421 et 481 (suite A001844 de l'OEIS).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • L'écriture du n-ième nombre carré centré sous la forme ci-dessus (1 + 4 fois le nombre triangulaire d'indice n – 1) peut se représenter par :
    Zentrierte Quadratzahl3.PNG
  • Le n-ième nombre carré centré est la somme des deux nombres carrés consécutifs n2 et (n – 1)2 :
    Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg
  • Les nombres carrés centrés peuvent donc aussi s'écrire sous la forme :
    C_{4,n}=n^2+(n-1)^2={{(2n-1)^2 + 1} \over 2}.
    La dernière égalité est représentée ci-dessous pour n = 1, 2, 3 et 4. La figure est formée en considérant un carré de 2n – 1 points par 2n – 1 points, et en sélectionnant la moitié des points, à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.[réf. souhaitée]
Gruener Punkt.svg Gruener Punkt.svgGruener Punkt.svgBeiger Punkt.png
Gruener Punkt.svgGruener Punkt.svgMissingDot.svg
MissingDot.svgMissingDot.svgMissingDot.svg
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1^2+0^2=\frac{1^2+1}2 2^2+1^2=\frac{3^2+ 1}2 3^2+2^2=\frac{5^2+ 1}2 4^2+3^2=\frac{7^2+ 1}2

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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