Nombre hexagonal centré

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Représentation des nombres hexagonaux centrés.

Un nombre hexagonal centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par un « hexagone » ayant un point placé en son centre et tous les autres points disposés autour de ce centre formant des couches hexagonales successives. Pour un entier n donné, le nombre hexagonal centré de rang n dénombre les points de « l'hexagone » à n couches, et est égal à 1+3n(n-1).

En écrivant ce nombre sous la forme 1+6\left({1\over2}n(n-1)\right), il apparaît que le nombre hexagonal centré de rang n est le nombre triangulaire de rang n multiplié par six augmenté de 1.

Les premiers nombres hexagonaux centrés sont

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919.

Tous les nombres hexagonaux centrés sont impairs, et en base 10 on peut remarquer que leurs chiffres des unités suivent le modèle 1-7-9-7-1.

Pour trouver les nombres hexagonaux centrés autres que 1 qui sont également des nombres ou des carrés, il est nécessaire de résoudre des équations diophantiennes. En résolvant l'équation diophantienne suivante

\frac{1}{2} m(m + 1) = 3n^2 + 3n + 1,

nous apprenons que 91, 8911 et 873181 sont des nombres qui sont à la fois hexagonaux centrés et triangulaires (ils deviennent très grands rapidement) tandis qu'en résolvant l'équation diophantienne

m^2 = 3n^2 + 3n + 1,

nous apprenons que 169 et 32761 sont des nombres hexagonaux centrés et des carrés.

Les nombres hexagonaux centrés ont des applications pratiques dans les domaines de la gestion de production et de la logistique, par exemple, dans l'empaquetage de certains produits dans de plus grands récipients circulaires, comme les saucisses de Francfort dans des conteneurs cylindriques.

Démonstration géométrique que la somme des n premier hexagonaux est un cube.

La somme des n premiers nombres hexagonaux centrés s'avère être égale à n3. Ceci montre, que les nombres pyramidaux hexagonaux centrés et les cubes sont les mêmes nombres, mais ils sont représentés par des formes différentes. D'un autre point de vue, les nombres hexagonaux centrés sont des différences de deux cubes consécutifs, de sorte que les nombres hexagonaux centrés sont des gnomons de cubes. En particulier, les nombres hexagonaux centrés premiers sont des cubes premiers.

La différence entre (2n)^2\, et le nombre hexagonal centré de rang n est un nombre de la forme n^2 + 3n - 1\,, tandis que la différence entre (2n - 1)^2\, et le nombre hexagonal centré de rang n est un nombre oblong ou pronique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]