Nombre pyramidal carré

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Le 4e nombre pyramidal carré est
12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

En arithmétique géométrique, un nombre pyramidal carré est un nombre figuré qui peut être représenté par une pyramide de base carrée, dont chaque couche représente un nombre carré. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre pyramidal carré, somme des n premiers nombres carrés, est donc

P^{(4)}_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.

Les dix premiers[1] sont 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285 et 385.

Les deux seuls nombres pyramidaux carrés qui sont des nombres carrés sont P1(4) = 1 = 12 et P24(4) = 4 900 = 702. Ce résultat, conjecturé par Édouard Lucas en 1875, fut achevé de prouver par George Neville Watson en 1918[2], ce qui résout le « problème boulets de canon[3] » : peut-on former, avec le même nombre de boulets, un carré étalé au sol et une pyramide de base carrée ?

Le n-ième nombre pyramidal carré est le quart du (2n)-ième nombre tétraédrique.

La somme des n-ième et (n – 1)-ième nombres pyramidaux carrés est le n-ième nombre octaédrique[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square pyramidal number » (voir la liste des auteurs).

  1. Pour les 10 000 premiers, voir ce lien de la suite A000330 de l'OEIS.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Square Pyramidal Number », MathWorld.
  3. (en) Eric W. Weisstein, « Cannonball Problem », MathWorld.
  4. (en) John H. Conway et Richard K. Guy, The Book of Numbers, Springer,‎ 1996 (lire en ligne), p. 50.