Nombre hexagonal

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Représentation des quatre premiers nombres hexagonaux : celle d'indice n s'obtient en entourant la précédente d'un hexagone comportant 4n – 3 nouveaux points.
Les quatre premiers nombres hexagonaux sont
1, 1 + 5 = 6, 6 + 9 = 15 et 15 + 13 = 28.

Un nombre hexagonal est un nombre polygonal qui peut être représenté par un hexagone. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre hexagonal est donc

P_{6,n}=n(2n-1)=P_{3,2n-1}.

Ainsi, les nombres hexagonaux sont simplement les nombres triangulaires d'indices impairs.

Les vingt-deux premiers sont 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861 et 946 (suite A000384 de l'OEIS).

Réduite modulo 9, cette suite suit périodiquement le motif de neuf valeurs 1, 6, 6, 1, 0, 3, 1, 3, 0.

Tout entier n > 130 peut être exprimé comme une somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour n > 1791 (voir la suite A007527 de l'OEIS).


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