Nombre carré triangulaire

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En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme[1]

N_k=\frac{\left(\left(1+\sqrt2\right)^{2k}-\left(1-\sqrt2\right)^{2k}\right)^2}{32}=\frac{\left(\left(3+2\sqrt2\right)^k-\left(3-2\sqrt2\right)^k\right)^2}{32},\quad k\in\N^*.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivante[1].

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = s2, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

x^2-2y^2=1.

Les solutions sont données par

x_k+y_k\sqrt2=(1+\sqrt2)^{2k},

soit

x_k=\frac{(1+\sqrt2)^{2k}+(1-\sqrt2)^{2k}}2\quad{\rm et}\quad y_k=\frac{(1+\sqrt2)^{2k}-(1-\sqrt2)^{2k}}{2\sqrt2}.

On trouve donc

t_k=\frac{(1+\sqrt2)^{2k}+(1-\sqrt2)^{2k}-2}4\quad{\rm et}\quad s_k=\frac{(1+\sqrt2)^{2k}-(1-\sqrt2)^{2k}}{4\sqrt2},

d'où la valeur annoncée pour Nk = sk2.

Observations numériques[modifier | modifier le code]

k Nk sk tk tk/sk
1 1 1 1 1
2 36 6 8 1,3…
3 1 225 35 49 1,4
4 41 616 204 288 1,411…
5 1 413 721 1 189 1 681 1,413…
6 48 024 900 6 930 9 800 1,4141…
7 1 631 432 881 40 391 57 121 1,41420…
8 55 420 693 056 235 416 332 928 1,414211…
9 1 882 672 131 025 1 372 105 1 940 449 1,4142132…

(voir la suite A001110 de l'OEIS pour quelques valeurs suivantes de Nk).

Lorsque k tend vers l'infini, le rapport

\frac{t_k}{s_k}=\frac{x_k-1}{y_k}\sim\frac{x_k}{y_k}

tend vers la racine carrée de deux et

{N_{k+1} \over {N_k}}={s_{k+1}^2\over s_k^2}\to(1+\sqrt 2)^4.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Triangular square number » (voir la liste des auteurs), renommé « Square triangular number » en août 2005.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « There exist triangular numbers that are also square », sur cut-the-knot