Théorème de Bachet-Bézout

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

ax + by = pgcd(a, b)

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b.

Le théorème de Bézout affirme que l'équation ax + by = 1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.

La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres[1], parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes. Bourbaki, dans les Éléments d’histoire des mathématiques, énonce le résultat sur un anneau principal quelconque et lui donne le nom de « théorème de Bézout »[2].

Identité de Bézout dans l'ensemble des entiers relatifs[modifier | modifier le code]

Théorème de Bachet de Méziriac[modifier | modifier le code]

Théorème — Soient a et b deux entiers relatifs.

  • Identité de Bézout : si d est leur PGCD, il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = d.
  • Théorème de Bézout : a et b sont premiers entre eux (si et) seulement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que ax + by = 1.

Lien entre les deux énoncés[modifier | modifier le code]

Le second énoncé est le cas particulier d = 1 du premier.

Inversement, le premier se déduit du second en remarquant que a = da' et b = db' avec a' et b' entiers premiers entre eux, et que a'x + b'y = 1 entraîne alors ax + by = d.

On peut donc se contenter de démontrer l'un ou l'autre.

Démonstration du premier énoncé[modifier | modifier le code]

L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd(a, b), prouve déjà le premier énoncé. Mais la démonstration qui suit, plus proche de celle qui sera utilisée dans les anneaux principaux, possède aussi un intérêt.

Si a est nul, (x, y) = (0, ±1) convient. Supposons désormais a non nul. Si A = {ax + by | (x, y) ∈ ℤ2}, on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.

En effet Aℕ* est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d0 = ax0 + by0. La division euclidienne de a par d0 a pour reste r qui est élément de A car s'écrivant r = a – d0q = a – ax0q – by0q = a(1 – x0q) + b(–y0q). C'est un entier naturel strictement inférieur à d0 ; il ne peut donc pas appartenir à A∩ℕ*, donc r est nul. Cela signifie que d0 divise a. De même, d0 divise b. Donc d0 est un diviseur commun à a et b.

Enfin, tout diviseur commun à a et b divise ax0 + by0 = d0. Le diviseur commun d0 est donc bien le plus grand, et il existe deux entiers x0 et y0 tels que pgcd(a, b) = ax0 + by0.

Démonstration directe du second[modifier | modifier le code]

Une preuve moins constructive du second énoncé[3] consiste à considérer le groupe des inversibles modulo a, c'est-à-dire le groupe des unités de l'anneau ℤ/a. En effet, en supposant que b est premier avec a, montrer qu'il existe deux entiers x et y tels que by = 1 – ax revient à montrer que b est inversible modulo a.

On considère pour cela l'application « produit par b », de ℤ/aℤ dans lui-même. Cette application est injective car si by = bz alors b(y – z) est divisible par a donc y – z aussi (d'après le lemme de Gauss), si bien que y = z. Comme ℤ/aℤ est un ensemble fini, on déduit de cette injectivité que l'application est surjective. L'antécédent de 1 fournit alors un inverse pour b modulo a.

Résultat réciproque[modifier | modifier le code]

Soient a et b deux entiers relatifs.

  • Soit d un entier naturel divisant a et b. S'il existe deux entiers x et y tels que ax + by = d, alors d est le PGCD de a et b.
  • S'il existe deux entiers x et y tels que ax + by = 1, alors a et b sont premiers entre eux.

Dans le premier énoncé, l'hypothèse que d divise a et b est indispensable. S'il existe deux entiers x et y tels que d = ax + by, on peut seulement dire que d est un multiple du PGCD. Par exemple, il existe deux entiers x et y tels que 2x + 3y = 5 (il suffit de prendre x = 1 et y = 1) alors que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3.

Le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence d'un couple d'entiers tels que ax + by = pgcd(a, b). L'algorithme d'Euclide étendu fournit un des couples solutions, mais il en existe, en général, une infinité d'autres.

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et l'on peut écrire (–3)×12 + 1×42 = 6 mais aussi 4×12 + (–1)×42 = 6.

À partir d'un couple solution (x0, y0), il est facile de prouver que l'on a aussi : a\left(x_0-k{b \over d}\right) + b\left(y_0+k{a\over d}\right)=dk peut varier dans ℤ.

Applications[modifier | modifier le code]

Le théorème de Bachet-Bézout intervient dans de nombreux domaines de la théorie des nombres. Il intervient dans

Généralisation[modifier | modifier le code]

Théorème —  Étant donnés des entiers relatifs a1, …, an non tous nuls et d leur PGCD, il existe des entiers relatifs x1, …, xn tels que d = x1a1 + … + xnan.

Les entiers a1, …, an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe des entiers relatifs x1, …, xn tels que 1 = x1a1 + … + xnan.

En d'autres termes, quand les ak ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, …, an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire à coefficients entiers de a1, …, an.

Identité de Bézout dans l'ensemble des polynômes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K.

Théorème —  Étant donnés P1, …, Pn des polynômes de K[X] et Δ un PGCD de P1, …, Pn, il existe A1, …, An, polynômes de K[X], tels que Δ = A1P1 + … + AnPn.

Les polynômes P1, …, Pn sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe A1, …, An, polynômes de K[X], tels que 1 = A1P1 + … + AnPn.

Extension aux anneaux principaux quelconques[modifier | modifier le code]

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. (Notons que dans ce cas « plus grand » diviseur commun s'entend seulement au sens de la relation de préordre fournie par la divisibilité dans l'anneau ; l'unicité du PGCD n'est conservée qu'à un facteur inversible près de l'anneau.) C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, alors il existe un plus grand diviseur commun d de a et b et des éléments x et y dans A tels que d = ax + by.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal aA + bA engendré par a et b est principal. En effet, tout générateur d de aA + bA est un diviseur commun à a et b (puisque a et b appartiennent à aA + bA), et c'est « le » plus grand au sens de la divisibilité, c'est-à-dire que tout diviseur commun c divise d (puisque c divise tout élément de aA + bA).

Extension à d'autres anneaux[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Anneau de Bézout.

L'identité de Bachet-Bézout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau A est dit de Bézout si tout idéal de type fini de A est principal (mais l'anneau peut éventuellement contenir des idéaux qui ne sont pas de type fini). Autrement dit, A est de Bézout si deux éléments quelconques a, b de A possèdent toujours un PGCD, et si celui-ci peut toujours s'écrire sous la forme xa + yb (pour certains éléments x, y de A).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème des restes chinois

Références[modifier | modifier le code]

  1. Prop.18 des Problèmes plaisants et délectables, p.18 : Deux nombres premiers entre eux étant donnés, trouver le moindre multiple de chacun d'iceux, surpassant de l'unité un multiple de l'autre. Pour cela, Bachet applique l'algorithme d'Euclide, décrit dans la prop.1 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Cette proposition affirme que, si le résultat de l'algorithme conduit au nombre 1, alors les nombres sont premiers entre eux. Bachet énonce que la réciproque de cette proposition a été montrée par Campanus et Clavius.
  2. Liliane Alfonsi, Étienne Bézout (1730-1783), mathématicien des Lumières, Paris, L’Harmattan,‎ 2011 (ISBN 978-2-296-56553-1), p. 358-359. L. Alfonsi indique aussi quelques manuels du début du XXe siècle où le nom de Bézout est utilisé.
  3. (en) Peter J. Eccles, An Introduction to Mathematical Reasoning, CUP,‎ 1997 (ISBN 978-0-521-59718-0, lire en ligne), p. 259.