Analyse fractionnaire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse qui étudie la possibilité qu'un opérateur différentiel puisse être élevé à un ordre non entier.

On peut définir par ce procédé des dérivées ou des intégrales fractionnaires. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires rentrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement

\sqrt{\mathrm D} = \mathrm D^{1/2}

la racine carrée de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

\mathrm D^\alpha~

pour des valeurs réelles de α, de telle sorte que lorsque α prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0 ou l'intégration itérée |n| fois pour n < 0. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : α n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.

Dérivée fractionnaire[modifier | modifier le code]

En ce qui concerne l'existence d'une telle théorie, les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832. La dérivée fractionnaire d'ordre a d'une fonction en un point x est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.

Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point x est une propriété locale seulement lorsque l'ordre a est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction f en x ne dépend que du voisinage de f très près de x, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres des dérivations entiers.

Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » T : f(x) \mapsto f(x + h) et l'opérateur identité \rm \mathrm Id. La limite, lorsque h tend vers 0, de l'opérateur

\Delta = \frac{T - \rm \mathrm Id}{h}

correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.

Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :

\Delta^\alpha = \frac{(T - \mathrm{\mathrm Id})^\alpha}{h^\alpha} = \frac1{h^\alpha}\left[ \mathrm{\mathrm Id} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!} T^k \right].

Ce résultat met bien en évidence le caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.

Approche naturelle[modifier | modifier le code]

Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur H tel que

\mathrm H^2 f(x) = \mathrm D f(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) = f'(x) ?

Il apparaît qu'il existe un tel opérateur, et en effet pour tout α > 0, il existe un opérateur P tel que :

(\mathrm P^\alpha f)(x) = f'(x),

ou, pour le formuler autrement, que \tfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n} est bien défini pour toutes valeurs réelles n > 0.

Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction f(x) qui est bien définie pour x > 0, nous pouvons former son intégrale définie de 0 à x :

( \mathrm I f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; \mathrm dt .

En répétant ce processus, on obtient

( \mathrm I^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( \mathrm I f ) ( t ) \; \mathrm dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(u) \; \mathrm du \right) \mathrm dt,

et ceci peut être répété arbitrairement.

La formule suivante, appelée formule de Cauchy pour l'intégration successive,

(\mathrm I^n f) ( x ) = \frac{ 1 }{ (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; \mathrm dt

exprime par une seule intégrale la primitive n-ième d'une fonction f. Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel α.

La fonction gamma Γ, qui étend la factorielle aux valeurs réelles, est définie de telle sorte que :

n! = \Gamma(n+1) \,.

En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, nous obtenons un candidat naturel pour les applications fractionnaires de l'opérateur d'intégration :

(\mathrm I^\alpha f) ( x ) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; \mathrm dt

On peut montrer que l'opérateur I vérifie les formules suivantes :

(\mathrm I^\alpha) (\mathrm I^\beta) f = (\mathrm I^\beta) (\mathrm I^\alpha) f = (\mathrm I^{\alpha+\beta} ) f = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; \mathrm dt

Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation D est considérablement plus compliqué. En général, D n'est ni « commutatif », ni « additif ».[réf. nécessaire]

Exemple : « demi-dérivée » d'une fonction simple[modifier | modifier le code]

Considérons f(x), un monôme de la forme

f(x) = x^k~.

La dérivée première est communément

 f'(x) = \frac{\mathrm d }{ \mathrm dx } f(x) = k x^{k-1}.

Ceci mène, après a répétitions, au résultat plus général

 \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ k! }{ (k - a) ! } x^{k-a} ;

lequel, après substitution des factorielles par la fonction gamma, donne :

 \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ \Gamma(k+1) }{ \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}.

Ainsi, la « demi-dérivée » de f(x) = x est :


\frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } x =
\frac{ \Gamma(1 + 1) }{ \Gamma ( 1 - \frac12 + 1 ) } x^{1-\frac12} =
\frac{ \Gamma( 2 ) }{ \Gamma ( \frac32 ) } x^\frac12 =
{2  \pi^{-\frac12}} x^\frac12 =
\frac{2\,x^\frac12}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{4x}{\pi}}.

Une seconde application donne :

 \frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } {2  \pi^{-\frac12}} x^\frac12 = {2  \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma ( 1 + \frac12 ) }{ \Gamma ( \frac12 - \frac12 + 1  ) } x^{\frac12 - \frac12}  = {2  \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma( \frac32 ) }{ \Gamma ( 1 ) } x^0 = \frac1{ \Gamma (1) } = 1,

ce qui est bien le résultat attendu de :

 \left( \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \right) x = \frac{ \mathrm d }{ \mathrm dx } x = 1 \,

Résultats élémentaires[modifier | modifier le code]

On peut ainsi arriver à quelques formules de base, permettant d'évaluer des dérivées « fractionnaires » dans quelques cas simples :

  • \mathrm{\mathrm D}^{q}(x^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}x^{n-q}
  • \mathrm{\mathrm D}^{q}\bigl(\sin(x)\bigr)=\sin \left( x+\frac{q\pi}{2} \right)
  • \mathrm{\mathrm D}^{q}(e^{ax})=a^{q}e^{ax}~

Références[modifier | modifier le code]

  • Denis Matignon, Introduction au calcul fractionnaire, dans Lois d'échelle, fractales et ondelettes, Hermes, Paris, 2002
  • (en)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en anglais « Differintegral » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Fractional calculus » (voir la liste des auteurs). Les références (en anglais) de ce dernier étaient les suivantes :
    • Theory and Applications of Fractional Differential Equations, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, Febrary 2006. ISBN 0-444-51832-0 (http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
    • An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
    • The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
    • Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
    • Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
    • Physics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (* '* Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261-285,1998. doi:10.1007/s002200050299 (available online or as the arXiv preprint)
    • Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online or as the arXiv preprint)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Ouvrages[modifier | modifier le code]