Analyse fractionnaire

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En mathématiques, l'analyse fractionnaire est une branche de l'analyse qui étudie la possibilité qu'un opérateur différentiel puisse être élevé à un ordre non entier.

On peut définir par ce procédé des dérivées ou des intégrales fractionnaires. Ces dérivées ou intégrations fractionnaires rentrent dans le cadre plus général des opérateurs pseudo-différentiels.

Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'électromagnétisme, l'acoustique ou la thermique, en définissant des opérateurs pseudo-différentiels diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie fractale ».

Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement

\sqrt{\mathrm D} = \mathrm D^{1/2}

la racine carrée de l'opérateur de dérivation, c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction aura le même effet que la dérivation. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir

\mathrm D^\alpha~

pour des valeurs réelles de \alpha, de telle sorte que lorsque \alpha prend une valeur entière n, on récupère la dérivation n-ième usuelle pour n > 0 ou l'intégration itérée -n fois pour n < 0. Le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : \alpha n'est pas nécessairement un nombre rationnel, et on devrait donc plutôt parler de dérivation non entière. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.

Dérivée fractionnaire[modifier | modifier le code]

En ce qui concerne l'existence d'une telle théorie, les fondations de ce sujet ont été jetées par Liouville dans un article de 1832. La dérivée fractionnaire d'ordre a d'une fonction en un point x est désormais souvent définie à partir de la transformée de Fourier ou de la transformée de Laplace.

Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point x est une propriété locale seulement lorsque l'ordre a est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction f en x ne dépend que du voisinage de f très près de x, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres des dérivations entiers.

Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur « de translation » T : f(x) \mapsto f(x - h) et l'opérateur identité \rm \mathrm Id. La limite, lorsque h tend vers 0, de l'opérateur

\Delta = \frac{T - \rm \mathrm Id}{h}

correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.

Grâce à la formule du binôme généralisée, on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :

\Delta^\alpha = \frac{(T - \mathrm{\mathrm Id})^\alpha}{h^\alpha} = \frac1{h^\alpha}\left[ \mathrm{\mathrm Id} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!} T^k \right]

Ce résultat met bien en évidence le caractère non local de l'opération de dérivation à un ordre non entier.

Approche naturelle[modifier | modifier le code]

Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur \mathrm H tel que

\mathrm H^2 f(x) = \mathrm D f(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) = f'(x) ?

Il apparaît qu'il existe un tel opérateur, et en effet pour tout \alpha>0, il existe un opérateur \mathrm P tel que :

(\mathrm P^\alpha f)(x) = f'(x) ~,

ou, pour le formuler autrement, que \tfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n} est bien défini pour toutes valeurs réelles n>0.

Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction f(x) qui est bien définie pour x > 0, nous pouvons former son intégrale définie de 0 à x :

( \mathrm I f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; \mathrm dt .

En répétant ce processus, on obtient

( \mathrm I^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( \mathrm I f ) ( t ) \; \mathrm dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(u) \; \mathrm du \right) \mathrm dt,

et ceci peut être répété arbitrairement.

La formule suivante, appelée formule de Cauchy pour l'intégration successive,

(\mathrm I^n f) ( x ) = \frac{ 1 }{ (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; \mathrm dt

exprime par une seule intégrale la primitive nème d'une fonction f. Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel \alpha.

La fonction gamma \Gamma, qui étend la factorielle aux valeurs réelles, est définie de telle sorte que :

n! = \Gamma(n+1) \,.

En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, nous obtenons un candidat naturel pour les applications fractionnaires de l'opérateur d'intégration :

(\mathrm I^\alpha f) ( x ) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; \mathrm dt

On peut montrer que l'opérateur \mathrm I vérifie les formules suivantes :

(\mathrm I^\alpha) (\mathrm I^\beta) f = (\mathrm I^\beta) (\mathrm I^\alpha) f = (\mathrm I^{\alpha+\beta} ) f = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; \mathrm dt

Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation \mathrm D est considérablement plus compliqué. En général, \mathrm D n'est ni « commutatif », ni « additif ».[réf. nécessaire]

Exemple : « demi-dérivée » d'une fonction simple[modifier | modifier le code]

Considérons f(x), un monôme de la forme

f(x) = x^k~.

La dérivée première est communément

 f'(x) = \frac{\mathrm d }{ \mathrm dx } f(x) = k x^{k-1}.

Ceci mène, après a répétitions, au résultat plus général

 \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ k! }{ (k - a) ! } x^{k-a} ;

lequel, après substitution des factorielles par la fonction gamma, donne :

 \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ \Gamma(k+1) }{ \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}.

Ainsi, la « demi-dérivée » de f(x) = x est :


\frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } x =
\frac{ \Gamma(1 + 1) }{ \Gamma ( 1 - \frac12 + 1 ) } x^{1-\frac12} =
\frac{ \Gamma( 2 ) }{ \Gamma ( \frac32 ) } x^\frac12 =
{2  \pi^{-\frac12}} x^\frac12 =
\frac{2\,x^\frac12}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{4x}{\pi}}.

Une seconde application donne :

 \frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } {2  \pi^{-\frac12}} x^\frac12 = {2  \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma ( 1 + \frac12 ) }{ \Gamma ( \frac12 - \frac12 + 1  ) } x^{\frac12 - \frac12}  = {2  \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma( \frac32 ) }{ \Gamma ( 1 ) } x^0 = \frac1{ \Gamma (1) } = 1,

ce qui est bien le résultat attendu de :

 \left( \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \right) x = \frac{ \mathrm d }{ \mathrm dx } x = 1 \,

Résultats élémentaires[modifier | modifier le code]

On peut ainsi arriver à quelques formules de base, permettant d'évaluer des dérivées « fractionnaires » dans quelques cas simples :

  • \mathrm{\mathrm D}^{q}(x^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}x^{n-q}
  • \mathrm{\mathrm D}^{q}\bigl(\sin(x)\bigr)=\sin \left( x+\frac{q\pi}{2} \right)
  • \mathrm{\mathrm D}^{q}(e^{ax})=a^{q}e^{ax}~

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Denis Matignon, Introduction au calcul fractionnaire, dans Lois d'échelle, fractales et ondelettes, Hermes, Paris, 2002