Opérateur pseudo-différentiel

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En analyse mathématique, un opérateur pseudo-différentiel est une extension du concept familier d'opérateur différentiel, permettant notamment l'inclusion d'ordres de dérivation non entiers. Ces opérateurs pseudo-différentiels sont abondamment utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et en théorie quantique des champs.

Rappels et notations[modifier | modifier le code]

On reprend ci-dessous les notations introduites dans l'article opérateur différentiel.

Opérateur différentiel[modifier | modifier le code]

Rappelons qu'un opérateur différentiel linéaire d'ordre  m s'écrit :

 \mathfrak{D} \ = \ \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ D^{\alpha}

où les a_{\alpha}(x), appelées coefficients de l'opérateur \mathfrak{D}, sont des fonctions des n variables d'espace x^k, k = 1, ... , n.

Introduction de la transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables par :

 \hat{f}(\xi) \ = \ \int_\R \ e^{- \, i \, \xi \, x} \ f(x)\mathrm dx

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

 f(x)  \ = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_\R  \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \hat{f}(\xi)\mathrm d\xi

Application aux opérateurs différentiels[modifier | modifier le code]

Le symbole de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m est la fonction \sigma(x,\xi) des 2n variables (x,\xi) polynomiale en \xi :

\sigma (x, \xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha}(x) \ \xi^{\alpha}

L'opérateur différentiel \mathfrak{D} linéaire d'ordre m vérifie alors la relation :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (x,\xi) \ \hat{f}(\xi)

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur \mathfrak{D} à partir de son symbole \sigma (x,\xi). Nous allons mettre cette idée à profit dans le paragraphe suivant.

Introduction : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Opérateur différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Si les coefficients a_{\alpha} de l'opérateur différentiel  \mathfrak{D} d'ordre  m sont indépendants des n variables d'espace x^k, son symbole est seulement une fonction \sigma (\xi) des n variables \xi polynomiale en \xi :


\sigma (\xi) = \sum_{|\alpha| = 0}^m \ a_{\alpha} \ \xi^{\alpha}

de telle sorte que :

(\mathfrak{D} \,f)(x)  \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

soit encore, en utilisant la transformation de Fourier inverse[1] :

(\widehat{\mathfrak{D} \, f})(\xi) \ =  \ \sigma (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Définition : opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants[modifier | modifier le code]

Soit une fonction p(\xi) des n variables \xi. On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel  P_D à coefficients constants, dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

(P_D \,f)(x)  \ = \ \int_\R \frac{\mathrm d\xi}{(2\pi)^n} \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (\xi) \ \hat{f}(\xi)

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(\xi) présente quelques « bonnes » propriétés :

  • la fonction p(\xi) doit être lisse.
  • la fonction p(\xi) doit avoir une croissance tempérée lorsque  | \xi | \to \infty , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que :
\forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}

où les C_{\alpha} sont des constantes, qui peuvent dépendre de \alpha.

Calcul symbolique exact[modifier | modifier le code]

Soient P_1 et P_2 deux opérateurs pseudo-différentiels à coefficients constants, définis respectivements par les symboles p_1(\xi) et p_2(\xi). Alors, l'opérateur P = P_1 P_2 est encore un opérateur pseudo-différentiel à coefficients constants, dont le symbole est le produit p_1(\xi) p_2(\xi).

Opérateur pseudo-différentiel : cas général[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit une fonction p(x,\xi) des 2n variables (x,\xi). On associe à cette fonction un opérateur pseudo-différentiel  P_D , dont l'action sur une fonction f est définie par l'intégrale suivante :

(P_D \,f)(x)  \ = \frac{1}{(2\pi)^n}\ \int_\R  \ e^{+ \, i \, \xi \, x} \ p (x, \xi) \ \hat{f}(\xi)\mathrm d\xi

Remarque : on note parfois cet opérateur pseudo-différentiel à partir de son symbole de la façon suivante : P_D = p(x,D)

Propriétés requises du symbole[modifier | modifier le code]

Pour que l'intégrale ait un sens, il faut que le symbole p(x,\xi) présente quelques « bonnes » propriétés, énoncées ci-dessous :

  • la fonction p(x,\xi) doit avoir une croissance tempérée lorsque  | \xi | \to \infty , cette croissance tempérée devant de plus s'améliorer par dérivation. Par analogie avec le cas d'un opérateur différentiel d'ordre m, où cette croissance est polynomiale, on est amené à demander ici qu'il existe un nombre m tel que
    \forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|}
    où les C_{\alpha} sont des constantes, qui peuvent dépendre de \alpha.
  • la fonction p(x,\xi) doit avoir une variation lente dans les variables d'espace  x. On demande explicitement que
    \forall \ \alpha , \quad \left| \ \partial^{\alpha}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m}

Ces deux conditions peuvent être combinées en une seule, utilisée ci-dessous pour définir plus précisément la classe des symboles d'ordre m.

Classe des symboles d'ordre m[modifier | modifier le code]

Soit \Omega \subset \R^n un compact, et p(x,\xi) une fonction lisse de \mathcal{C}^{\infty}(\Omega \times \R^n). Soit m un nombre réel quelconque. La classe S^{m}(\Omega \times \R^n) des symboles d'ordre m est définie par :

S^{m}(\Omega \times \R^n) \ = \ \left\{ \ p(x,\xi) \ \Big/ \ \left| \ \partial^{\alpha}_{\xi} \ \partial^{\beta}_{x} \ p (x,\xi) \ \right| \ \le \ C_{\alpha, \beta, \Omega} \ \left( 1 \ + \ | \xi | \ \right)^{m - |\alpha|} \ \right\}

pour tout x \in \Omega, \xi \in \R^n , et pour tous les multi-indices \alpha, \beta. Les C_{\alpha, \beta, \Omega} sont des constantes, qui peuvent dépendre de \alpha, \beta et \Omega.

Remarque : lorsque la mention du compact \Omega est indifférente, on note simplement : S^{m} \ = \ S^{m}(\Omega \times \R^n)

On note souvent  \Psi^m l'ensemble des opérateurs pseudo-différentiels à symbole dans  S^m

Propriété de pseudo-localité[modifier | modifier le code]

Support singulier d'une distribution[modifier | modifier le code]

On appelle support singulier d'une distribution  u le complémentaire de l'ensemble des points au voisinage desquels  u est une fonction  C^\infty .

Calcul symbolique[modifier | modifier le code]

Soient  p_j, (j=1,2) des éléments de  S^{m_j}(\R^n\times\R^n) . Alors l'opérateur  p_1(x,D)\circ p_2(x,D) est aussi un opérateur pseudo-différentiel, dont le symbole, qui appartient à  S^{m_1+m_2} est donné par une somme asymptotique dont le premier terme est  p_1(x,\xi)p_2(x,\xi)

Continuité dans les espaces de Sobolev[modifier | modifier le code]

On note  H^s(\R^n) l'espace de Sobolev standard d'ordre s sur  \R^n . Soient s et m deux nombres réels. Un opérateur pseudo-différentiel d'ordre m sur  \R^n (i.e un élément de  \Psi^m ) est continu de  H^s(\R^n) dans  H^{s-m}(\R^n).

Propriété de pseudo-localité[modifier | modifier le code]

Soit a \in S^m et soit K le noyau de a(x,D). Alors K est C^\infty pour x \neq y. En particulier, pour toute distribution tempérée u, supp sing a(x,D) u \subset supp sing u

Bibliothèque virtuelle[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, coll. « Savoirs actuels », EDP Sciences/CNRS éditions, 1991 (ISBN 2-86883-363-2). Issu d’un cours professé à l’École normale supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s’adresse aux étudiants de troisième cycle de mathématiques désireux d’acquérir une formation de base en analyse.
  • Jacques Chazarain et Alain Piriou, Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles linéaires, Gauthier-Villars, 1981 (ISBN 2-04-012157-9).
  • (en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin (en), Elements of the Modern Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 3-540-65377-5). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN 3-540-63825-3).
  • (en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume III est sous-titré : Pseudo-Differential Operators, et le volume IV : Fourier Integral Operators.
  • (en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
  • (en) M. A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag, 2001 (ISBN 3-540-41195-X).
  • (en) Michael E. Taylor (en), Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press, 1981 (ISBN 0-691-08282-0).
  • (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations II - Qualitative Studies of Linear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 116), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94651-9). Cet ouvrage fait suite au volume d'introduction : Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN 0-387-94654-3).
  • (en) Michael E. Taylor, Partial Differential Equations III - Nonlinear Equations, coll. « Applied Mathematical Sciences » (no 117), Springer-Verlag, 2e éd., 1997 (ISBN 0-387-94652-7).
  • (en) François Treves (de), Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, coll. « University Series in Mathematics », Plenum Publ., 1981 (ISBN 0-306-40404-4).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Cette formule est fausse lorsque les coefficients de l'opérateur différentiel ne sont pas constants.