Formule de Cauchy pour l'intégration successive

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La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notablement généralisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire[modifier | modifier le code]

Soit $f$ une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de $f$ est :

x\mapsto \int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}

.

Sa version condensée en une seule intégrale est :

f^{[n]}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{n-1}f(y)\,\mathrm {d} y

.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs (Beardon 2000) nous amènent à :

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f^{[n]}(x)=f^{[n-1]}(x)

.

De plus, $f [n]$ s'annule en $a$ . Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de $f$ spécifiée initialement.

Généralisations[modifier | modifier le code]

La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de $n\in \mathbb {N}$ aux complexes $\alpha \in \mathbb {C} ,\ \Re (\alpha )>0$ , avec :

f^{[\alpha ]}(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-y\right)^{\alpha -1}f(y)\,\mathrm {d} y

avec $Γ$ la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.

On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz.

Applications[modifier | modifier le code]

En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réaliser en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cauchy formula for repeated integration » (voir la liste des auteurs), dont les deux références étaient :
- (en) Gerald Folland (en), Advanced Calculus, Prentice Hall, 2002, 461 p. (ISBN 978-0-13-065265-2), p. 193 ;
- (en) Alan Beardon, « Fractional calculus II », université de Cambridge, 2000.

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