Vecteur aléatoire

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Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle.

Définition[modifier | modifier le code]

Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de  :

ω est l'élément générique de Ω, l'espace de toutes les éventualités possibles.

Les applications X1, ..., Xn sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X = (X1, ..., Xn).

Une application X de (définie sur Ω), à valeurs dans l'espace muni de la tribu des boréliens de , est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.

Fonction de répartition[modifier | modifier le code]

Soit un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition est ainsi définie :

Indépendance de vecteurs aléatoires[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée est égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit un espace probabilisé. On pose trois vecteurs aléatoires.

Par leur indépendance, on a :

Vecteur gaussien[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.

Définition — Soit X = (X1, ..., Xn) un vecteur aléatoire. X est gaussien si et seulement si, pour toute suite a1, ..., an) de nombres réels, la variable aléatoire

est une variable gaussienne.

Construction d'un vecteur gaussien à partir de sa matrice de covariance[modifier | modifier le code]

Il est notable que toute matrice définie positive est la matrice de covariance d'un vecteur gaussien. De plus on peut déterminer un unique vecteur gaussien à partir de cette matrice et d'un vecteur réel (correspondant au vecteur des moyennes du vecteur gaussien)[1].

Propriété — Soit Γ une matrice réelle définie positive de taille d × d, et μ un vecteur de taille d.

Il existe un unique vecteur gaussien X = (X1, ..., Xn) dont Γ est la matrice de covariance et μ est le vecteur de moyenne.

On note le vecteur gaussien associé à μ et Γ.

De plus on peut calculer la fonction caractéristique et la densité de ce vecteur gaussien.

Propriété —  Soit .

Sa fonction caractéristique ΦX(u) s'exprime (avec ) :

Sa densité fX(u) s'exprime (avec et d dimension de X) :

Enfin, on peut noter cette relation entre X vecteur gaussien et un vecteur de lois normales centrées réduites indépendantes :

Propriété —  Soit .

avec A matrice racine carrée de Γ, μ vecteur des moyennes et Z vecteur aléatoire dont les composantes sont indépendantes et suivent une loi normale

Notes et références[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Patrick Bogaert, Probabilités pour scientifiques et ingénieurs, De Boeck Université, 2006, Bruxelles
  • Alain Cambrouze, Probabilités1, Presses Universitaires de France, 1996, Paris
  • Yves Ducel, Introduction à la théorie mathématique des probabilités, Ellipses , 1998, (ISBN 2-7298-9820-4)
  • Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie des probabilités, Ellipses , 1996, (ISBN 2-7298-4688-3)

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]