Produit vectoriel

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension trois[1],[2]. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d'analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günther Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l'origine du produit vectoriel défini par Gibbs[3],[4].

Histoire[modifier | modifier le code]

Résumé[modifier | modifier le code]

En 1843, Hamilton inventa les quaternions qui permettent de définir le produit vectoriel. Indépendamment et à la même période (1844) Grassmann définissait dans Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik un « produit géométrique » à partir de considérations géométriques ; mais il ne parvient pas à définir clairement un produit vectoriel. Puis Grassmann lit Hamilton et s'inspire de ses travaux pour publier en 1862 une deuxième version de son traité qui est nettement plus claire[5]. De même, Hamilton a lu les travaux de Grassmann et les a commentés et appréciés[6]. Plus tard Maxwell commença à utiliser la théorie des quaternions pour l'appliquer à la physique. Après Maxwell, Clifford modifia profondément le formalisme de ce qui devenait l'analyse vectorielle. Il s'intéressa aux travaux de Grassmann et Hamilton avec une nette préférence pour le premier[4]. En 1881, Gibbs publia Elements of Vector Analysis Arranged for the Use of Students of Physics s'inspirant des travaux déjà réalisés notamment ceux de Clifford et Maxwell. Si les physiciens se sont empressés d'utiliser le formalisme de Gibbs, celui-ci ne fut accepté en mathématiques que bien plus tard, et après plusieurs modifications.

Anecdote[modifier | modifier le code]

Peter Guthrie Tait, dans la préface de la troisième édition de son traité sur les quaternions, qualifia le nouveau formalisme créé par Gibbs de « monstre hermaphrodite, composé des notations de Hamilton et Grassmann »[7].

Notation[modifier | modifier le code]

Plusieurs notations sont en concurrence pour le produit vectoriel :

Dans cet article, nous utiliserons la première convention (avec ou sans flèches sur les vecteurs).

Définition[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. Par le choix d'une base orthonormée, E peut être identifié avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoire pour définir le produit vectoriel.

D'un point de vue géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs \vec u et \vec v de E non colinéaires se définit comme l'unique vecteur \vec w tel que :

et le produit vectoriel de deux vecteurs colinéaires est nul par définition. En particulier :

  • deux vecteurs sont colinéaires si (et seulement si) leur produit vectoriel est nul ;
  • deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la norme de leur produit vectoriel est égale au produit de leurs normes.

La notion d'orientation peut ici être comprise de manière élémentaire en utilisant la règle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un trièdre indiquent respectivement le sens de \vec u, de \vec v et de \vec w. Cette définition, utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante, mais reste une bonne approche.

Définition par le produit mixte[modifier | modifier le code]

Une seconde définition utilise la théorie des déterminants et la notion de produit mixte comme point de départ. Le produit mixte de trois vecteurs u, v, w, noté [u, v, w], est le déterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormale directe quelconque. La formule de changement de base montre que ce déterminant est indépendant du choix de la base ; géométriquement il est égal au volume orienté du parallélépipède appuyé sur les vecteurs u, v, w. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur uv tel que, pour tout w, on a : [u, v, w] = (uv)∙w. Le produit vectoriel s'interprète comme les variations du volume orienté d'un parallélépipède en fonction du troisième côté.

Avec une telle définition, il est possible de définir, dans un espace vectoriel orienté de dimension n + 1, le produit vectoriel de n vecteurs.

Calcul en composantes[modifier | modifier le code]

Une méthode pour calculer le produit vectoriel grâce aux composantes

Le choix arbitraire d'une base orthonormée directe donne une identification de E et de R3. Notons les coordonnées u = (u1, u2, u3) et v = (v1, v2, v3). Leur produit vectoriel est donné par :

u\wedge v=\begin{pmatrix}
u_2v_3-u_3v_2\\ u_3v_1-u_1v_3\\ u_1v_2-u_2v_1
\end{pmatrix}.

Cette troisième définition, puisqu'elle est équivalente aux deux précédentes, est indépendante, malgré les apparences, du choix de la base orthonormée directe dans laquelle on calcule les coordonnées.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Ces propriétés découlent immédiatement de la définition du produit vectoriel par le produit mixte et des propriétés algébriques du déterminant.

  • Il n'est pas associatif – c'est-à-dire qu'en général (uv)∧w n'est pas égal à u∧(vw) – et plus précisément, il vérifie les égalités du double produit vectoriel :
u\wedge(v\wedge w)=(u\cdot w)v-(u\cdot v)w\qquad\text{et}\qquad(u\wedge v)\wedge w=(u\cdot w)v-(v\cdot w)u.

u\wedge(v\wedge w)+w\wedge(u\wedge v)+v\wedge(w\wedge u)=0.

  • En partant de l'identité de Lagrange\left((bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right) + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2),on peut démontrer facilement l'égalité\|\vec u\wedge\vec v\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\|\vec v\|^2que l'on peut aussi écrire sous la forme :\left(\dfrac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\right)^2 + \left(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\right)^2 = 1,ce qui équivaut à l'identité trigonométrique\sin^2(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) + \cos^2(\widehat{\vec{u},\vec v}) = 1et qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.
  • Les premières propriétés algébriques ci-dessus (bilinéarité et formule du double produit vectoriel) fournissent une solution au problème de la division vectorielle ux = v, où l'inconnue est le vecteur x et les données sont les deux vecteurs u et v, en supposant u non nul et orthogonal à v (sans quoi la résolution est instantanée). En effet, de u∧(vu) = ║u2v on déduit que x0 = (vu)/║u2 est une solution. Or le noyau de l'application linéaire xux est la droite vectorielle Ru, donc l'ensemble des solutions de cette équation linéaire est x0 + Ru.

Invariance par isométries[modifier | modifier le code]

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isométries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a : f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v).

Cette identité peut être prouvée différemment suivant l'approche adoptée :

Définition géométrique : L'identité est immédiate avec la première définition, car f préserve l'orthogonalité, l'orientation et les longueurs.

Produit mixte : L'isomorphisme linéaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut être calculé dans l'image par f de la base orthonormée directe dans laquelle le produit mixte de u, v et w est calculé. De fait, l'identité précédente s'obtient immédiatement :

(f(u)\wedge f(v))\cdot f(w)=[f(u),f(v),f(w)]=[u,v,w]=(u\wedge v)\cdot w\,=f(u\wedge v)\cdot f(w)

f(w) parcourt tout l'espace vectoriel quand w le parcourt puisque f est une bijection, d'où l'égalité souhaitée.

Définitions alternatives[modifier | modifier le code]

Comme produit de Lie[modifier | modifier le code]

Toute isométrie directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble des isométries directes forme un groupe de Lie classique noté SO(3) (autrement dit, un sous-groupe fermé de GL3(R)). Son algèbre de Lie, notée so(3) est la sous-algèbre de Lie de gl3(R) définie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identité. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymétriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.

Toute matrice antisymétrique M de taille 3 s'écrit de manière unique : \mathrm M=\begin{pmatrix}
0 & -c & b\\
c & 0 & -a\\
-b & a & 0
\end{pmatrix}. En identifiant M et le vecteur (a, b, c), on définit un isomorphisme linéaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hérite d'une structure d'algèbre de Lie. Le crochet [u, v] de deux vecteurs est précisément le produit vectoriel de u et de v.

En effet, si u1 = (a1, b1, c1), et u2 = (a2, b2, c2), leur crochet se calcule en introduisant les matrices antisymétriques correspondantes M1 et M2 :

[\mathrm M_1, \mathrm M_2]= \mathrm M_1 \mathrm M_2- \mathrm M_2 \mathrm M_1=\begin{pmatrix}
0 & a_2b_1-a_1b_2 & a_2c_1-a_1c_2\\
a_1b_2 -a_2b_1 & 0 & b_2c_1-b_1c_2\\
a_1c_2-a_2c_1 & b_1c_2-b_2c_1 & 0
\end{pmatrix}

Le vecteur correspondant, à savoir [u1, u2], a donc pour coordonnées (b1c2b2c1, a2c1a1c2, a1b2a2b1). Cette approche redéfinit donc le produit vectoriel.

Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isométries f\left[u\wedge v\right]=f(u)\wedge f(v). En tant qu'algèbres de Lie, so(3) a été identifié à R3. L'action (linéaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie à l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opère donc par automorphisme d'algèbres de Lie. Autrement dit, l'identité ci-dessus est vérifiée.

Comme produit de quaternions imaginaires[modifier | modifier le code]

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire à partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique est (1, i, j, k) où le sous-espace engendré par i, j, k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifié avec R3. Ces éléments vérifient : {\rm i}^2={\rm j}^2={\rm k}^2={\rm ijk}= -1~; {\rm ij}=-{\rm ji}={\rm k}\quad ;\quad {\rm jk}=-{\rm kj}={\rm i}\quad ;\quad {\rm ki}=-{\rm ik}={\rm j}. Si q1 = a1i + b1j + c1k et q2 = a2i + b2j + c2k, le produit q1q2 se calcule immédiatement : q_1q_2=-(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2)+(b_1c_2-b_2c_1){\rm i}+(c_1a_2-c_2a_1){\rm j}+(a_1b_2-a_2b_1){\rm k}. La partie réelle est au signe près le produit scalaire de q1 et de q2, la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, après identification avec R3.

Cette coïncidence trouve ses explications dans le paramétrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.

Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isométrie. Toute isométrie de l'espace des quaternions imaginaires s'écrit comme la conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :

\left[qq_1\overline{q}\right].\left[qq_2\overline{q}\right]=q(q_1q_2)\overline{q}

pour en déduire l'invariance par isométrie du produit vectoriel.

Par le produit tensoriel[modifier | modifier le code]

Article connexe : produit tensoriel.

Soient deux vecteurs à trois composantes u_i et v_j. On peut définir le tenseur

u\otimes v =\begin{pmatrix}
u_1 v_1 & u_1 v_2 & u_1 v_3 \\
u_2 v_1 & u_2 v_2 & u_2 v_3 \\
u_3 v_1 & u_3 v_2 & u_3 v_3 \\
\end{pmatrix}

qui, en notation tensorielle, s'écrit simplement :

[u\otimes v]_{ij}= u_i\cdot v_j

Ce tenseur peut se décomposer en la demi-somme de deux tenseurs, l'un complètement symétrique :

[u\odot v]_{ij}=u_i\cdot v_j + u_j\cdot v_i

qui a 6 composantes indépendantes, et l'autre complètement anti-symétrique :

[u\wedge v]_{ij}=u_i\cdot v_j - u_j\cdot v_i

qui a 3 composantes indépendantes. On peut alors « transformer » ce tenseur anti-symétrique en un vecteur à trois composantes en utilisant le symbole de Levi-Civita \varepsilon^{ijk} (ce dernier est un pseudo-tenseur dont la définition fait intervenir la métrique et l'orientation) :

z_k = \varepsilon^{ijk} \cdot u_i\cdot v_j

(selon la convention de sommation d'Einstein, on somme sur i et sur j dans la formule ci-dessus). Le vecteur z_k est le produit vectoriel de u_i et v_j.

Exemple pour des vecteurs à 3 composantes (i, j et k variant de 1 à 3):

z_3 = \varepsilon^{ij3} \cdot u_i\cdot v_j = \varepsilon^{123} \cdot u_1\cdot v_2 + \varepsilon^{213} \cdot u_2\cdot v_1 = u_1\cdot v_2 - u_2\cdot v_1.

On voit que si l'on échange les indices i et j, le signe change, ce qui illustre l'antisymétrie du produit vectoriel. En outre le résultat est un « pseudovecteur » puisqu'il est renversé si on change l'orientation de l'espace.

Applications[modifier | modifier le code]

Mécanique[modifier | modifier le code]

On définit l'opérateur rotationnel comme suit : \overrightarrow{\operatorname{rot}} \ \vec u = \vec \nabla \wedge \vec u=\begin{vmatrix} 
\vec i & \vec j & \vec k \\ 
\partial_x  & \partial_y & \partial_z   \\ 
u_x & u_y & u_z 
\end{vmatrix}. En mécanique du solide, c'est une opération très employée notamment dans la relation de Varignon qui lie les deux champs vectoriels d'un torseur. D'autre part, les équations de Maxwell sur l'électromagnétisme s'expriment à travers l'opérateur rotationnel, ainsi que les équations de la mécanique des fluides, notamment celles de Navier-Stokes.

Le moment d'une force est défini comme le produit vectoriel de cette force  \vec \mathrm F par le vecteur \vec{\mathrm{AP}} reliant son point d'application \mathrm A au pivot  \mathrm P considéré : \vec\mathrm  M_{\vec \mathrm{F/P}} = \vec\mathrm F\wedge\vec{\mathrm{AP}} = \vec{\mathrm{PA}}\wedge\vec \mathrm F. C'est une notion primordiale en mécanique du solide.

Équation de plan dans l'espace[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Le plan dans l'espace euclidien.

Soient A, B et C, trois points non alignés de l'espace, grâce auxquels on peut former le plan (ABC).

M(x,y,z) appartient à (ABC) si et seulement si les coordonnées de M vérifient l'équation de (ABC).

L'équation cartésienne de (ABC) est de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b, c et d sont des réels et \scriptstyle\vec w est un vecteur normal à (ABC), c'est-à-dire que son produit scalaire avec le vecteur \overrightarrow{AB} ou avec \overrightarrow{AC} ou encore avec le vecteur \overrightarrow{BC} est nul, donc si \scriptstyle\vec w est un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABC).

Les réels a, b et c sont donc les composantes respectives en x, y et z du vecteur \scriptstyle\vec w, produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), par exemple \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

Géométrie plane[modifier | modifier le code]

Soit ABCD un parallélogramme, c'est-à-dire qu'on a la relation

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Comme indiqué plus haut dans la définition, l'aire de ce parallélogramme est égale à la norme du produit vectoriel des deux vecteurs sur lesquels il s'appuie :

\left\| \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD} \right\|.

Références[modifier | modifier le code]

Ouvrages[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Tous les espaces vectoriels euclidiens orientés de dimension 3 sont deux à deux isomorphes ; l'isomorphisme est une isométrie bien définie à composition près par une rotation.
  2. Il est en fait possible de définir une opération ayant des propriétés analogues dans des espaces de dimension 7 ; voir produit vectoriel en dimension 7.
  3. Crowe 1994.
  4. a et b Jean-Paul Collette, t. 2 : histoire des mathématiques, Vuibert, 1979 (ISBN 0-7767-0164-9), p. 244.
  5. Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 [détail des éditions], 1986, p. 107.
  6. Crowe 1994, p. 85.
  7. a et b Cajori 1993, p. 134 et 136.
  8. Cajori 1993, p. 138.
  9. Voir section Définition #Comme produit de Lie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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