Arc sinus

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Représentation graphique (dans un repère non normé).

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre –π/2 et π/2.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus en radians est notée arcsin[1] (Arc sin ou Asin en notation française, sin−1, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle [–π/2, π/2].

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle [–π/2, π/2] par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie

\arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation

\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}.

Forme intégrale indéfinie[modifier | modifier le code]

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

\arcsin(x) = \int_0^x\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, \mathrm dt.

Primitives[modifier | modifier le code]

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

 \int \arcsin(x) \, \mathrm dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C.

arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)

Relation entre arc sinus et arc cosinus[modifier | modifier le code]

Voir section détaillée « Relation entre arc cosinus et arc sinus » de l'article « arc cosinus »
\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2.

Forme logarithmique[modifier | modifier le code]

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

\arcsin(x) = -{\rm i}\ln\left({\rm i}x+\sqrt{1-x^2}\right).

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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