Arc sinus

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Fonction arc sinus
Image dans Infobox.
Représentation graphique de la fonction arc sinus.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1, 1]
Ensemble image
Parité
impaire

En mathématiques, l’arc sinus d'un nombre réel compris (au sens large) entre –1 et 1 est l'unique mesure d'angle en radians dont le sinus vaut ce nombre, et comprise entre et .

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre –1 et 1 la valeur de son arc sinus est notée arcsin (Arcsin[1] ou Asin en notation française, sin−1, asin ou asn en notation anglo-saxonne). Il s'agit alors de la bijection réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique sinus à l'intervalle .

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle par la réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une bijection réciproque, arcsin est dérivable sur ]–1, 1[ et vérifie .

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation .

Développement en série entière[modifier | modifier le code]

Si ,

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Forme intégrale indéfinie[modifier | modifier le code]

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

.

Primitives[modifier | modifier le code]

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

.

Relation entre arc sinus et arc cosinus[modifier | modifier le code]

arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)

Pour tout réel x entre –1 et 1 : .

Forme logarithmique[modifier | modifier le code]

On peut exprimer la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :

.

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]