Sinus hyperbolique

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Fonction sinus hyperbolique
Sinh.png
Graphe de la fonction sinus hyperbolique sur une partie de ℝ.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
impaire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
0
Limite en +∞
Limite en −∞

Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction sinus hyperbolique, notée (ou )[1] est la fonction complexe suivante :

est l'exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est un analogue de la fonction sinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

  • est continue et même holomorphe donc infiniment dérivable. Sa dérivée est la fonction cosinus hyperbolique notée .
  • est impaire.
  • Les primitives de sont , où est une constante d'intégration.
  • La restriction de à ℝ est strictement croissante, concave sur et convexe sur .

Propriétés trigonométriques[modifier | modifier le code]

Des définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

Ces égalités sont analogues aux formules d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées définissent un cercle, définissent la branche positive d'une hyperbole équilatère. On a en effet pour tout  :

.

D'autre part, pour  :

, d'où ;
, d'où ;
(obtenu en itérant la formule précédente) ;
.

L'utilisation de formules trigonométriques telles que permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel non nul) :

 ;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor en 0 de la fonction converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

.

Valeurs[modifier | modifier le code]

Quelques valeurs de :

  •  ;
  •  ;
  • .

Zéros[modifier | modifier le code]

Tous les zéros de sont des imaginaires purs : .

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Graphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de ℝ.

admet une fonction réciproque, notée (ou ou ou parfois )[2], et nommée argument sinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement[3] choisie en posant comme coupure les demi-droites et  :

,

et sont les déterminations principales du logarithme complexe de la racine carrée complexe. En effet, si alors , or .

La restriction-corestriction de sinh de ℝ dans ℝ admet donc pour réciproque : .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Références[modifier | modifier le code]

  1. La norme internationale ISO 80000-2:2009 recommande sinh.
  2. La norme ISO 80000-2:2009 recommande arsinh.
  3. (en) W. Kahan, « Branch cuts for complex elementary functions or Much ado about nothing's sign bit », dans A. Iserles et M. J. D. Powell (en), The State of the Art in Numerical Analysis, Clarendon Press, (lire en ligne), p. 165-210.