Équation fonctionnelle

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En mathématiques, une équation fonctionnelle est une équation dont les inconnues sont des fonctions. De nombreuses propriétés de fonctions peuvent être déterminées en étudiant quelles équations elles satisfont. D'habitude, le terme « équation fonctionnelle » est réservé aux équations qu'on ne peut pas ramener à une équation algébrique, le plus souvent parce que la fonction cherchée a pour arguments dans l'équation, non pas directement la variable, mais des fonctions (déterminées) de la variable elle-même.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'équation fonctionnelle
    est satisfaite par la fonction zêta de Riemann. La lettre Γ désigne la fonction gamma d'Euler.
  • L'équation fonctionnelle
    est satisfaite par la fonction gamma d'Euler.
  • L'équation fonctionnelle
    a, b, c et d sont des entiers naturels vérifiant adbc = 1, se retrouve dans la définition du concept de forme modulaire.
  • D'autres exemples d'équations fonctionnelles :
  • Une forme simple d'équation fonctionnelle est la relation de récurrence, dont la fonction inconnue est une suite (formellement : une fonction définie sur l'ensemble des entiers) et qui met en jeu l'opérateur de décalage.
  • L'associativité et la commutativité sont des équations fonctionnelles. Quand la loi de composition interne est représentée sous sa forme habituelle, par un symbole entre les deux variables, son associativité s'écrit comme suit :
    (ab) ∗ c = a ∗ (bc).
    Mais si l'on écrit f(a, b) au lieu de ab, alors l'associativité de la loi ressemble plus à ce que l'on entend conventionnellement par « équation fonctionnelle » :
    f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)).

Un point commun à tous ces exemples est que dans chacun des cas, deux ou plusieurs fonctions (tantôt la multiplication par une constante, tantôt l'addition de deux variables, tantôt la fonction identité) sont substituées à l'inconnue.

Quand il est question de trouver toutes les solutions, il arrive que certaines conditions analytiques soient exigées ; par exemple, dans le cas de l'équation de Cauchy, les solutions continues sont les solutions raisonnables alors que les autres solutions sont plus difficilement accessibles. Le théorème de Bohr-Mollerup est un autre exemple connu.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Functional equation » (voir la liste des auteurs).

  1. Les solutions continues sont 0, 1, cosx) et coshx).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Équation différentielle

Bibliographie[modifier | modifier le code]