Arc tangente

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Atan.
 Ne doit pas être confondu avec Arcs tangents.
Représentation graphique (dans un repère non normé).

En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la mesure d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle ]–π/2, π/2[. La notation est arctan[1] ou Arctan [2] (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tan−1, en notation anglo-saxonne, cette dernière pouvant être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan)).

Pour tout réel x :

Dans un repère cartésien orthonomé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]–π/2, π/2[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Parité[modifier | modifier le code]

La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x)

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie :

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

Le développement en série de Taylor de la fonction arc tangente[3] est :

Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz

La formule de Machin, plus sophistiquée,

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle[modifier | modifier le code]

De arctan(1/x) on peut déduire arctan(x) et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]–π/2, π/2[ :

Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan(x)) = x. Mais l'équation arctan(tan(y)) = y n'est vérifiée que pour y compris entre –π/2 et π/2.

Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en :

Logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Par construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :

Intégration[modifier | modifier le code]

Primitive[modifier | modifier le code]

La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 est

Cette formule s'obtient grâce à une intégration par parties (mais peut se contrôler facilement en appliquant les formules de dérivation).

Utilisation de la fonction arctangente[modifier | modifier le code]

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

Si le discriminant D = b2 – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible si on revient à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

qui donne pour l'expression à intégrer

L'intégrale est alors

Formule remarquable[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Arkustangens und Arkuskotangens » (voir la liste des auteurs).

  1. Extraits de la norme ISO 31-11 à l'usage des CPGE, p. 6.
  2. Programme officiel de l'Éducation nationale (MPSI, 2013), p. 6.
  3. Connue des anglophones sous le nom de « série de Gregory », elle avait en fait été déjà découverte par le mathématicien indien Madhava au XIVe siècle. Voir l'article Série de Madhava (en) pour plus de détails.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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