Théorème de factorisation de Weierstrass

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros.

Le théorème de factorisation de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Du développement en série entière suivant pour u\in\; ]-1;1[ :

\ln(1-u)=-u-\frac{u^2}{2}-\frac{u^3}{3}-\ldots-\frac{u^n}{n}-\ldots

on déduit que la fonction tronquée aux m premiers termes

E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m},

est sensiblement égale à 1 sur [-1,1], sauf dans un voisinage de u=1 où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs E(u,m) sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière f d'ordre fini \rho et s'annulant sur les nombres complexes a_n \neq 0, il existe un polynôme P(s) de degré inférieur ou égal à \rho, et un entier m \le \rho tels que l'on ait

f(s)=s^p\exp(P(s))\prod_{n=1}^\infty E\left(\frac{s}{a_n},m\right).

Le facteur s^p correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre p en 0.

Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre \rho si \rho n'est pas entier. Il peut prendre la valeur \rho ou la valeur \rho-1 si l'ordre \rho est entier. L'entier m est majoré par \rho. L'un des deux entiers au moins est égal à \rho si l'ordre est entier.

Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.

Le théorème de Hadamard[modifier | modifier le code]

Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini \rho s'énonce ainsi

Pour toute fonction méromorphe f(s) d'ordre fini \rho il existe deux entiers m_1 et m_2 plus petits que \rho, et un polynôme q(s) de degré inférieur à \rho tels que f(s)=e^{q(s)}\frac{p_1(s)}{p_2(s)},p_1(s) et p_2(s) sont des produits de fonctions canoniques d'ordres m_1 et m_2 batis sur les zéros a_i et les pôles b_i de f. p_1(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\left(\frac{s}{a_n},m_1\right)}, p_2(s)=\prod_{n=1}^\infty{E\left(\frac{s}{b_n},m_2\right)},

avec E(u,m)=(1-u)e^{u+u^2/2+\ldots+u^m/m}.

Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant :

Toute fonction méromorphe est le quotient de deux fonctions entières.

Exemples de factorisations et applications[modifier | modifier le code]

La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article produit infini) :


f(z) = z^m \; e^{\phi(z)} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{z}{u_n}\right)
, où les u_n sont les zéros de f ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction \phi(z).

On a en particulier

Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs :

 \zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{2k}} \ = \ \frac{|B_{2k}| \ (2\pi)^{2k}} {2 \, (2k)!}
, où les B_{2k} sont les nombres de Bernoulli.

Notant x_n la solution de l'équation x=\tan x comprise entre n\pi et \pi/2+n\pi (pour n entier > 0), on peut de même obtenir le développement en produit infini[1] :

\sin x-x\cos x= \frac{x^3}{3}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{x^2}{x_n^2}\right), d'où l'on tire (par identification avec le développement en série de Taylor) le résultat \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{10}.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Revue Tangente Sup, n°62, p. 16

Notes[modifier | modifier le code]