Cosinus intégral

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La fonction cosinus intégral, notée Ci est définie par l'intégrale : \forall x > 0,\ \mathrm{Ci}(x) = -\int_{x}^\infty \frac{\cos(t)}{t} \mathrm{d}t où la fonction cos est la fonction cosinus.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur \mathbb{R}^{+*}, et \forall x \in \mathbb{R}^{+*},\ \mathrm{Ci}'(x) = \frac{\cos(x)}{x}
  • \lim_{x \to +\infty} \mathrm{Ci}(x)= 0
  • \lim_{x \to 0} \mathrm{Ci}(x)= -\infty
  • La fonction Ci admet le développement suivant sur \mathbb{R}^{+*} : \forall x \in \mathbb{R}^{+*},\ \mathrm{Ci}(x) = \gamma + \ln(x) + \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!(2n)} \gamma est la constante d'Euler-Mascheroni. Ce développement permet d'étendre la fonction Ci en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe privé de la demi-droite des réels négatifs. La somme de la série vaut également \int_0^x \frac{\cos(t)-1}{t} \mathrm{d}t.
  • Les primitives de Ci(x) sont de la forme F(x) = x*Ci(x)-sin(x)+ k (k réel).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]