Aller au contenu

Cosinus

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Fonction cosinus
Représentation graphique sur un intervalle de deux périodes de la fonction cosinus.
Notation
Réciproque
(sur )
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
paire
Périodicité
Valeurs particulières
Valeur en zéro
1
Maxima
1
Minima
-1
Particularités
Zéros
avec
Points critiques
avec
Points d'inflexion
avec
Points fixes

En mathématiques, le cosinus d'un angle non droit d'un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté adjacent par la longueur de l'hypoténuse. On peut définir plus généralement le cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'un espace euclidien.

La fonction cosinus est une fonction mathématique paire de variable réelle. Elle est habituellement citée en deuxième parmi les fonctions trigonométriques, la première étant la fonction sinus. Elle se déduit de cette dernière par la relation : (le cosinus est le sinus du complémentaire).

Les fonctions trigonométriques sont habituellement définies à partir du cercle unité, mais des définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme solutions d'équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.

La fonction cosinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.

Définitions[modifier | modifier le code]

Cosinus d'un angle géométrique[modifier | modifier le code]

Cosinus  = Côté adjacent (noté a) / Hypoténuse (noté h).

Pour définir le cosinus d'un angle , noté , considérons un triangle rectangle arbitraire qui contient l'angle .

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :

  • l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit et le côté le plus long du triangle ;
  • le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle qui nous intéresse ;
  • le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle , qui n'est pas l'hypoténuse.

On notera :

 : la longueur de l'hypoténuse ;
 : la longueur du côté adjacent.

Alors :

.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle choisi, puisque tous les triangles rectangles sont semblables.

Cosinus de l'angle entre deux vecteurs d'un espace euclidien[modifier | modifier le code]

Étant donné deux vecteurs non nuls d'un espace euclidien, on définit le cosinus de l'angle par la formule :

est le produit scalaire de et la norme de .

On retrouve des propriétés similaires au cosinus défini par la trigonométrie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Fonction cosinus[modifier | modifier le code]

Cercle trigonométrique avec indication du cosinus et du sinus.

À partir du cercle unité[modifier | modifier le code]

Le plan euclidien étant rapporté à un système de coordonnées cartésiennes , on désigne par cercle unité ou cercle trigonométrique le cercle de rayon 1 centré à l'origine .

Étant donné un réel , La demi-droite d'origine faisant un angle orienté de mesure avec coupe le cercle en un point  ; par définition, est l'abscisse de .

Animation montrant le graphique de (où est l'angle en radians) sur le cercle unité.

À partir des séries entières[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus peut être définie à partir de la série entière, qui converge pour tout réel  :

.

Autrement dit, le cosinus de est défini comme la partie réelle de la série exponentielle de  :

.

Cette définition, jointe à celle analogue du sinus (comme partie imaginaire), est équivalente à la formule d'Euler.

Comme solution d'une équation différentielle[modifier | modifier le code]

La série entière précédente est l'unique solution de l'équation différentielle suivante qui constitue donc une définition équivalente de la fonction cosinus :

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Périodicité[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus est périodique, de période  :

.

Cette propriété découle directement de la définition à partir du cercle unité (voir supra).

Plus précisément, deux nombres réels ont le même cosinus si et seulement si leur somme ou leur différence appartient à .

Une autre approche[1] consiste à partir de la série entière de l’exponentielle, et à montrer que cette fonction est périodique de période pour un certain .

Parité[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus est paire :

.

Cette propriété se déduit en remarquant que la définition à partir du cercle unité est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, et apparaît dans le développement en série entière, qui ne contient que des termes de degrés pairs.

Réciproque[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus est périodique donc non injective. Aussi, on considère sa restriction à qui, elle, est bien bijective de vers , et l'on définit alors la fonction réciproque arc cosinus :

qui vérifie donc

 ;
.

Dérivée[modifier | modifier le code]

La dérivée de la fonction cosinus est l'opposée de la fonction sinus :

.

Primitive[modifier | modifier le code]

Une primitive de est  :

, à laquelle on peut ajouter une constante .

L'ensemble des primitives de la fonction cosinus est donc l'ensemble des fonctions telles que : , .

Limites[modifier | modifier le code]

Pour tout réel , la fonction cosinus est continue au point , donc sa limite en ce point est .

Du fait de sa périodicité, elle n'a pas de limite en .

Valeurs remarquables[modifier | modifier le code]

Quelques angles communs () sur le cercle unité. Les angles sont indiqués en degrés et en radians, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (, ).

Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le théorème de Wantzel s'applique ; pour plus de détails, voir l'article Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques.

(angle)
Degrés Radians Grades Exacte Décimale
0 0 0 1 1
180 200 -1 -1
15 16 23 0,965925826289068
165 183 1/3 -0,965925826289068
30 33 13 0,866025403784439
150 166 23 -0,866025403784439
45 50 0,707106781186548
135 150 -0,707106781186548
60 66 23 0,5
120 133 13 -0,5
75 83 13 0,258819045102521
105 116 23 -0,258819045102521
90 100 0 0
36 40 0,8090169944
54 60 0,5877852523
126 140 -0,5877852523

La solution de l'équation est ipso facto un nombre remarquable, appelé nombre de Dottie.

Relation avec les nombres complexes[modifier | modifier le code]

Le cosinus est utilisé pour déterminer la partie réelle d'un nombre complexe donné en coordonnées polaires, par son module et son argument  :

.

Cosinus avec un argument complexe[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus peut s'étendre sur le domaine complexe, où elle est une fonction entière :

.

On a alors : .

En particulier, pour , on a , ce qui montre que la fonction cosinus croît exponentiellement sur l'axe imaginaire[2].

Calcul numérique[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est par exemple ce que fait Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Dunod, 1998, p. 1-3.
  2. Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, (ISBN 978-2-7056-5907-3, OCLC 6787042), p. 186.

Liens externes[modifier | modifier le code]