Argument d'un nombre complexe

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Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge
Cet article est un complément de nombre complexe.



Un argument d’un nombre complexe non nul z est une mesure (en radians) de l’angle :

est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

On a alors :

représente le module de .

Souvent on note un argument du nombre complexe de façon simplifiée par :

ou plus précisément :



Rappels :

  • comme en coordonnées polaires et donc :
  • est le conjugué de ,
  • si la partie réelle de est strictement positive, .

De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe peut être entièrement déterminé de la façon suivante :

  • , si n'est pas un réel négatif, sinon.

Complex number.svg



Propriétés :

  • si et sont des complexes non nuls.
  • si est un complexe non nul et un naturel.
  • si est un complexe non nul.

En particulier:

  • si est un réel strictement positif et un complexe non nul.
  • si est un réel strictement négatif et un complexe non nul.



Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase[1] ou de l'amplitude[2] d'un nombre complexe : .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Dictionary of Mathematics (2002). phase.
  2. (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications, (ISBN 0-486-69219-1), p. 3

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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