Argument d'un nombre complexe

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Dans le plan complexe, si z est l'affixe du point M, alors un argument de z correspond à une mesure de l'angle .
Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.

Un argument d’un nombre complexe z non nul est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par z (voir la figure ci-contre).

Définition[modifier | modifier le code]

Étant donné un nombre complexe z non nul, un argument de z est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

M est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

De manière équivalente, un argument de z est un nombre réel tel que :

,

, et sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de z.

Souvent, on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :

ou plus précisément :

.

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase[1] ou de l'amplitude[2] d'un nombre complexe : .

Formules de calcul[modifier | modifier le code]

  • Si z n'est pas un imaginaire pur, , où est le conjugué de z et donc :
    si , .
  • De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe z non nul peut être entièrement déterminé de la façon suivante :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient z, z1 et z2 des complexes non nuls. On a,  :

.

En particulier :

  • pour tout réel a non nul :
  • pour tout entier relatif n : .

Applications à la géométrie[modifier | modifier le code]

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Dictionary of Mathematics, 2002, « phase ».
  2. (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications, , 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7), p. 3.

Articles connexes[modifier | modifier le code]