Fonction holomorphe

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Une grille et son image par f une fonction holomorphe. Une fonction holomorphe est une transformation conforme.

En analyse complexe, une fonction holomorphe est une fonction à valeurs complexes, définie et dérivable en tout point d'un sous-ensemble ouvert du plan complexe ℂ.

Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité réelle. Elle entraîne (via la théorie de Cauchy) que la fonction est analytique : elle est indéfiniment dérivable et est égale au voisinage de tout point de l'ouvert à la somme de sa série de Taylor. Un fait remarquable en découle : les notions de fonction analytique complexe et de fonction holomorphe coïncident. Pour cette raison, les fonctions holomorphes constituent le pilier central de l'analyse complexe.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition — Soient U un ouvert de l'ensemble ℂ des nombres complexes et f une application de U dans ℂ.

  • On dit que f est dérivable (au sens complexe) ou holomorphe en un point z0 de U si la limite suivante, appelée dérivée de f en z0 existe :
    f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }
  • On dit que f est holomorphe sur l'ouvert U si elle est holomorphe en tout point z0 de U. En particulier, on appelle fonction entière une fonction holomorphe dans tout le plan complexe.

La limite est prise ici sur toutes les suites de nombres complexes tendant vers z0, et pour toutes ces suites le quotient doit tendre vers un même nombre f’(z0). Intuitivement, si f est dérivable au sens complexe en z0, et si l'on approche le point z0 dans la direction d'un vecteur u, alors (pourvu que f(z0) ≠ 0) les images approchent le point f(z0) dans la direction du vecteur f’(z0)u (produit des nombres complexes f’(z0) et u).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Toute fonction polynomiale à coefficients complexes est entière.
  • Toute fonction rationnelle à coefficients complexes est holomorphe sur le complémentaire de l'ensemble de ses pôles. Par exemple, la fonction inverse z ↦ 1/z est holomorphe sur ℂ*.
  • Soit n≥0 an zn une série entière à coefficients complexes de rayon de convergence non nul (fini ou non) ; on note D son disque de convergence.
    La fonction f de D dans ℂ définie par f(z) = ∑ n≥0 an zn est holomorphe, et pour tout z ∈ D, f’(z) = ∑n≥1 nan zn–1.
    En fait, cette fonction est indéfiniment dérivable sur D.
  • La fonction exponentielle est entière. Il en est de même des fonctions trigonométriques (qui peuvent être définies à partir de la fonction exponentielle au moyen des formules d'Euler) et des fonctions hyperboliques.
  • On appelle détermination du logarithme complexe sur un ouvert U de ℂ* toute fonction holomorphe L de U dans ℂ telle que pour tout z ∈ U, exp(L(z)) = z ou ce qui est équivalent (dans le cas d'un ouvert connexe), toute fonction L holomorphe sur U de dérivée z↦1/z et pour laquelle il existe z0 ∈ U tel que exp(L(z0)) = z0.
    • Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination L du logarithme, on peut définir, pour tout entier k, la fonction z ↦ L(z) + 2kπi. Chacune de ces fonctions est une détermination du logarithme sur U, et si U est connexe, ce sont les seules.
    • Il n'existe pas de détermination du logarithme sur l'ouvert ℂ*.
    • Il existe une détermination du logarithme sur n'importe quel ouvert du type ℂ*\D où D est une demi-droite de ℂ d'extrémité 0 (on parle de « coupure »), en particulier sur l'ensemble des nombres complexes privé de la demi-droite des réels négatifs ou nuls. Parmi toutes les déterminations du logarithme sur cet ouvert, il en existe une et une seule qui prolonge le logarithme népérien réel.
    • Plus généralement, il existe une détermination du logarithme sur tout ouvert simplement connexe ne contenant pas 0.
  • Sur tout ouvert U de ℂ* où existe une détermination L du logarithme, on peut définir, pour tout nombre complexe a, une détermination holomorphe sur U de la puissance d'exposant a en posant, pour tout z ∈ U, za = exp(a L(z)).
    • En particulier, pour tout entier n > 0, la fonction zz1/n = exp((1/n) L(z)) vérifie l'identité ∀z ∈ U, (z1/n)n = z. On dit que cette fonction est une détermination sur U de la racine n-ième. On peut noter nz au lieu de z1/n (si des réels strictement positifs appartiennent à U, il se peut qu'il y ait alors conflit entre cette notation et sa signification habituelle, servant à désigner la racine n-ième positive).
  • Les fonctions trigonométriques réciproques ont de la même manière des coupures et sont holomorphes partout sauf aux coupures.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Généralités[modifier | modifier le code]

Parce que la dérivation complexe est linéaire et qu'elle obéit aux règles classiques de dérivation, les sommes, produits ou composées de fonctions holomorphes sont holomorphes, et le quotient de deux fonctions holomorphes est holomorphe sur tout ouvert où le dénominateur ne s'annule pas.

Les règles de calcul des dérivées au sens complexe sont identiques à celles des dérivées des fonctions d'une variable réelle : linéarité, dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée.

Une fonction holomorphe en un point est bien évidemment continue en ce point.

Près d'un point z0 où la dérivée d'une fonction holomorphe f est non nulle, f est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général).

En effet, sa différentielle au point z0 est l'application ℂ-linéaire df_{z_0}:\C\to\C,\,u \mapsto A\, u, où A = f'(z_0) : la différentielle s'identifie donc à une similitude directe du plan, sous réserve que A soit non nul.

Équations de Cauchy-Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : équations de Cauchy-Riemann.

Si l'on identifie ℂ à ℝ2, alors les fonctions holomorphes sur un ouvert de ℂ coïncident avec les fonctions de deux variables réelles qui sont ℝ-différentiables sur cet ouvert et y vérifient les équations de Cauchy-Riemann, un système de deux équations aux dérivées partielles :

On considère une fonction f : U \to\C d'une variable complexe, où U est un ouvert du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes :

  • la variable complexe z est notée x +{\rm i}\, y, où x, y sont réels ;
  • les parties réelle et imaginaire de f(z) = f(x +{\rm i}\, y) sont notées respectivement P(x, y) et Q(x, y), c'est-à-dire : f(z) = P(x, y) +{\rm i}\, Q(x, y), où P,\, Q sont deux fonctions réelles de deux variables réelles.

Équations de Cauchy-Riemann — Si f est ℝ-différentiable, les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

Remarque, toujours avec f holomorphe en z0 : \ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = -{\rm i}\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \partial f(z_0) où l'opérateur différentiel \partial est, par définition, égal à \frac12\left(\frac\partial{\partial x}-{\rm i}\frac\partial{\partial y}\right).

Conséquences des équations de Cauchy Riemann : avec les notations ci-dessus, les laplaciens de la partie réelle et de la partie imaginaire de f sont nuls : \ \Delta P = \Delta Q = 0

P et Q sont dits harmoniques conjuguées, ce sont des fonctions harmoniques.

(plus loin le caractère C^\infty des fonctions holomorphes est montré (voir formule intégrale de Cauchy), d'où l'existence des laplaciens.)

On a également : \frac {\partial P} {\partial x} \frac {\partial Q} {\partial x} + \frac {\partial P} {\partial y} \frac {\partial Q} {\partial y}=0

Inversement, toute fonction harmonique réelle de la variable complexe est localement la partie réelle d'une fonction holomorphe.

Théorème intégral de Cauchy[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème intégral de Cauchy.

Les équations de Cauchy-Riemann permettent de démontrer le lemme de Goursat, qui est essentiellement le théorème intégral de Cauchy ci-dessous dans le cas particulier d'un lacet polygonal, et d'en déduire :

Théorème intégral de Cauchy — Soient γ un lacet rectifiable dans ℂ et f une fonction holomorphe sur un ouvert simplement connexe contenant γ, alors l'intégrale curviligne de f sur γ est nulle :

\int_\gamma f(z)~\mathrm dz=0.

Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe[1] mais seulement continue.

En particulier :

  • si γ est un lacet simple alors, d'après le théorème de Jordan-Schoenflies, il est la frontière d'un compact K connexe et simplement connexe, et le théorème s'applique alors (si γ est rectifiable) à toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant K.
  • si f est holomorphe sur un ouvert U et si γ et Γ sont deux chemins rectifiables strictement homotopes dans U alors les intégrales de f sur γ et Γ sont égales.

On peut éviter le recours au lemme de Goursat, mais[2] au prix d'une hypothèse supplémentaire :

Ce théorème est généralisé par le théorème des résidus aux fonctions holomorphes possédant des singularités.

Primitive d'une fonction holomorphe[modifier | modifier le code]

Du théorème ci-dessus on déduit :

Propriété — Soient f une fonction holomorphe sur un ouvert U connexe et simplement connexe, z0 un point de U et F la fonction définie sur U par
F(z)=\int_{P(z)}f(\xi)~\mathrm d\xi,
P(z) est n'importe quel chemin rectifiable dans U de z0 à z. Alors F est une primitive complexe de f sur U.

Ce théorème reste valable si, en un nombre fini de points de l'ouvert, la fonction n'est pas supposée holomorphe[1] mais seulement continue.

Il est important que l'ouvert soit simplement connexe, ainsi l'intégrale de f entre deux points ne dépend pas du chemin entre ces deux points.

Par exemple, la fonction h : z ↦ 1/z est holomorphe sur ℂ*, qui est connexe mais pas simplement connexe. L'intégrale de h sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (parcouru dans le sens trigonométrique), vaut 2πi, mais vaut 0 sur un chemin fermé joignant 1 à lui-même en n'entourant pas 0. On peut en revanche définir une primitive de h sur n'importe quel ouvert simplement connexe de ℂ* (cf déterminations du logarithme complexe dans la section « Exemples » ci-dessus).

Formule intégrale de Cauchy[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule intégrale de Cauchy.

Théorème — Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de ℂ, alors f est analytique sur U et pour tout point z0 de U, en notant R la distance (euclidienne) de z0 à ℂ\U :

\forall z \in D(z_0,R),~~f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-z_0)^n

avec

\forall r\in]0,R[,\quad c_n=\frac1{2\pi i}\int_{C(z_0,r)}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}~\mathrm dw.

Par conséquent, f est indéfiniment dérivable sur U, avec

\forall z_0 \in U,  f^{(n)}(z_0)=c_n.n!.

Remarques :

  • Cette série de Taylor en z0 converge sur tout disque ouvert de centre z0 et inclus dans U mais peut bien sûr converger sur un disque plus grand ; par exemple, la série de Taylor de la détermination principale du logarithme converge sur tout disque ne contenant pas 0, même s'il contient des réels négatifs.
  • Il y a équivalence entre holomorphie sur un ouvert et analyticité, l'analyticité impliquant clairement l'holomorphie.
  • Le principe du prolongement analytique, le principe du maximum, le principe des zéros isolés, l'inégalité de Cauchy sont donc vérifiés par une fonction holomorphe.

Propriété de la moyenne[modifier | modifier le code]

De la formule intégrale de Cauchy, on déduit notamment que toute fonction holomorphe sur un ouvert contenant un disque fermé est complètement déterminée à l'intérieur de ce disque par ses valeurs sur la frontière de celui-ci : dans la formule ci dessus pour c0, le changement de paramètre w = z0 + re donne :

f(z_0) = \frac1{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0+r{\rm e}^{{\rm i}\theta})~\mathrm d\theta.
  • L'intérêt de cette formule est dans le calcul numérique. Le calcul d'une intégrale est en effet plus stable que celui de dérivés.
  • Ce résultat reste clairement valable pour la partie réelle et pour la partie imaginaire de f, qui sont des fonctions harmoniques.

Principe du maximum[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe U. Alors | f | n'admet pas de maximum local sur U.

Développement de Laurent autour d'un point singulier[modifier | modifier le code]

En vert, la couronne C(Z0,R1,R2). La fonction est également développable en série de Laurent en Z0 sur une couronne comprise entre Z1 et Z0 (non représentée), ou une extérieure à Z3 (en bleu).
Article détaillé : Série de Laurent.

Théorème — Soit f une fonction holomorphe sur U\A avec U un ouvert connexe de ℂ et A l'ensemble des singularités isolées de f dans U.

Alors, en chaque point z0 de A, f admet, \forall z_1 \in A, un développement de Laurent sur une couronne C(z_0,R_1,R_2), où R_2>R_1>|z_1-z_0| et R_2 = d(z_0, (A-z_0) \cup (\C - U)) (d désignant une distance de ℂ) :

\forall z \in C(z_0,R_1,R_2),~~f(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-z_0)^n
Avec  c_n = \frac {1} {2 \pi i} \oint_{C(z_0,r)} \frac {f(w)} {(w-z_0)^{n+1}} \,dw
 R_1<r<R_2

Remarques :

  • En particulier on peut prendre z1 = z0.
  • le calcul des cn peut donner lieu à trois possibilités :
    • \forall n<0,~~c_n=0 : alors f peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de A contenus dans le disque D(z_0,R_1), et ces points sont dits réguliers. Exemple d'une fonction présentant de tels coefficients : f(z)=\frac{{\rm e}^z-1}z en 0, 0 est un point régulier de f.
    • \exists p \in \N tel que \forall n<-p on ait \ c_n=0 : alors la fonction \ (z-z_0)^pf(z) peut se prolonger en une fonction analytique sur tous les points de A contenus dans le disque D(z_0,R_1). Ce cas généralise en fait le premier. Ces points sont des pôles d'ordre au plus p de f, il peut en exister qui sont réguliers (ordre 0). Exemples de fonctions présentant de tels coefficients : f(z)=\frac{1}{z^k} en 0 (0 est un pôle d'ordre k de f), ou plus généralement les fonctions rationnelles en leurs pôles.
    • Dans les autres cas, il existe parmi les points de A contenus dans le disque D(z_0,R_1) au moins un point sur lequel il n'est pas possible de tenter un des prolongements ci dessus, un tel point est dit point singulier essentiel de f. Exemple : f(z)={\rm e}^{\frac 1z} en 0, 0 est un point singulier essentiel de f.
  • ce théorème concerne en particulier les fonctions méromorphes.
  • en pratique, ce développement s'effectue surtout en zéro.
  • en pratique, dans le cas d'une fonction rationnelle qu'on cherche à développer en zéro, les coefficients c_n se calculent via un classique développement en série en zéro des éléments simples.
  • en pratique, le calcul des coefficients (en n'importe quel point) peut également s'effectuer grâce au théorème des résidus, souvent plus compliqué que de développer en série des fonctions rationnelles, mais qui reste en général plus simple que l'utilisation de la formule directe.

Applications :

Anti-holomorphie[modifier | modifier le code]

Une fonction f(z) est dite anti-holomorphe sur un domaine D lorsque f(\overline{z}) est holomorphe sur le domaine conjugué \overline{D}. Elle est donc analytique en \overline{z}.

Une fonction à la fois holomorphe et anti-holomorphe est constante sur chaque sous-domaine connexe de D.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c En fait, on sait (a posteriori) qu'une fonction à valeurs complexes continue sur un ouvert du plan complexe et holomorphe sur le complémentaire d'un sous-ensemble fini est holomorphe sur cet ouvert. On peut même remplacer l'hypothèse de continuité par celle d'être localement bornée.
  2. Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes [détail des éditions], p. 70.
  3. Cette démonstration est extraite de Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2009 (ISBN 978-2-73021563-3, lire en ligne), p. 238. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 206, en donne une autre, s'appuyant sur la formule de la moyenne et l'égalité de Parseval, mais signale aussi (p. 209) que le principe du maximum se déduit immédiatement du théorème de l'image ouverte. Pour une autre preuve, voir Cartan, op. cit., p. 83, et l'exercice p. 142 pour une généralisation aux fonctions sous-harmoniques.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

graphes-fonctions-holomorphes - Balades mathématiques parmi les fonctions holomorphes, avec images à l'appui.