Sinus intégral

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Ne pas confondre avec la fonction sinus cardinal.

La fonction sinus intégral, notée Si, est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie pour tout réel par l'intégrale :

où la fonction sin est la fonction sinus.

Tracé de Si(x) pour

Historique[modifier | modifier le code]

Cette fonction a été utilisée par Oscar Xavier Schlömilch (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne dès 1846[1]. Une première tabulation de cette fonction (pour ), due à Carl Anton Bretschneider, a été republiée par Schlömilch en 1848[2]. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoire[3] suggérant plusieurs formules pour le calcul numérique de la fonction . Davide Besso (ru) a publié en 1868[4] une table de valeurs de pour multiple entier de . Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher[5], qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions cosinus intégral, exponentielle intégrale et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la Federal Works Agency (en), sous la direction d'Arnold D. Lowan[6]. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en physique et en ingénierie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction est continue, infiniment dérivable sur ℝ, et est la fonction sinus cardinal.
  • La fonction Si est développable en série entière sur ℝ, et on a Ce développement permet d'étendre la fonction Si en une fonction analytique définie sur tout le plan complexe.
  • . Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet.
  • Une formule intéressante : (coefficient binomial généralisé).

Références[modifier | modifier le code]

  1. O. Schlömilch, « Note sur quelques intégrales définies », J. reine angew. Math., vol. 33, no 316,‎ (lire en ligne)
  2. (de) O. Schlömilch, Analytische Studien vol. 1, 1848, p. 196
  3. J. D. Fenolio, Essai sur le sinus intégral, Turin, imprimerie royale, 1857
  4. (it) D. Besso, « Sull'integral seno e l'integral coseno », dans Giornale di matematiche (Battaglini (it)), vol. 6, 1868, p. 313
  5. (en) J. W. L. Glaisher, « Tables of the Numerical Values of the Sine-integral, Cosine-integral, and Exponential-integral », dans Philos. Trans. R. Soc., vol. 160, 1870, p. 387
  6. (en) Arnold L. Lowan (éd.), Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals, t. 1 et t.2, New York, 1940

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]