Arc cosinus

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Fonction arc cosinus
Image dans Infobox.
Représentation graphique (dans un repère non normé).
Notation
Réciproque
sur [0 ; π]
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1 ; 1]
Ensemble image
[0 ; π]

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée arccos (Arccos[1] ou Acos en notation française, et cos−1, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0, π] donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation y = x.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction est définie comme la fonction réciproque de sur , c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Relations trigonométriques[modifier | modifier le code]

Non parité[modifier | modifier le code]

Contrairement aux fonctions Arc sinus et Arc tangente, la fonction n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante :

Relation avec le sinus[modifier | modifier le code]

Il suffit d'utiliser la relation avec pour obtenir la relation suivante :

« Inversion » des formules trigonométriques[modifier | modifier le code]

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut « l'inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque , on aura , mais seulement pour

Dérivée[modifier | modifier le code]

Comme dérivée d'une fonction réciproque, est dérivable sur et vérifie

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.

Forme intégrale indéfinie[modifier | modifier le code]

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

Primitives[modifier | modifier le code]

Les primitives de la fonction arccos s'obtiennent par intégration par parties :

Relation entre arc cosinus et arc sinus[modifier | modifier le code]

arccos(x) (bleu) et arcsin(x) (rouge)
.

En effet, π/2arccos x est compris entre –π/2 et π/2 et son sinus est égal au cosinus de arccos x c'est-à-dire à x, donc π/2arccos x = arcsin x.

(Pour une autre méthode, voir le § « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexe[modifier | modifier le code]

On peut exprimer la fonction arccos à l’aide du logarithme complexe :

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]