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Arc cosinus

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Fonction arc cosinus
Représentation graphique (dans un repère non normé).
Notation
Réciproque
sur [0 ; π]
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
[−1 ; 1]
Ensemble image
[0 ; π]

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou rad).

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée ([1] ou en notation française, et , parfois ou , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation .

Définition

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La fonction est définie comme la fonction réciproque de sur , c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

Propriétés

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Relations trigonométriques

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Non-parité

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Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante[2] :

Relation avec le sinus

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Pour , on a (car ) et , donc[réf. souhaitée] :

« Inversion » des formules trigonométriques

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Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque , on a , mais seulement pour [réf. souhaitée].

Comme dérivée d'une fonction réciproque, est dérivable sur et vérifie[3] :

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).

Forme intégrale indéfinie

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Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie[4] :

Les primitives de la fonction s'obtiennent par intégration par parties[5] :

Relation entre arc cosinus et arc sinus

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Représentations graphiques d' (en bleu) et d' (en rouge).

En effet, est compris entre et et son sinus est égal au cosinus de , c'est-à-dire à , donc .

(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexe

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On peut exprimer la fonction à l’aide du logarithme complexe[6] :

Références

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  1. Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles : Filière : scientifique (MPSI), 35 p. (lire en ligne Accès libre [PDF]), « Techniques fondamentales de calcul en analyse », p. 10
  2. Abramowitz Stegun, 4.4.15, p. 80.
  3. Abramowitz Stegun, 4.4.53, p. 82.
  4. Abramowitz Stegun, 4.4.2, p. 79.
  5. Abramowitz Stegun, 4.4.59, p. 82.
  6. Abramowitz Stegun, 4.4.27, p. 80.

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