Cosinus hyperbolique réciproque

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Le cosinus hyperbolique réciproque est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus hyperbolique réciproque, ou argument cosinus hyperbolique[1], notée arcosh[2] (ou argch),

est définie à l'aide du cosinus hyperbolique par :

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Cette fonction est injective et son image est . Elle est continue, strictement croissante et concave.

Sa valeur en 1 est 0 et sa limite en +∞ est +∞.

Elle est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est donnée par :

.

On en déduit la primitive de arcosh qui s'annulle en 1 :

.

La composée de arcosh par la fonction sinus hyperbolique est donnée par :

.

Par conséquent :

  • la fonction arcosh s'exprime à l'aide du logarithme naturel par :
     ;
  • la somme et la différence de deux arguments cosinus hyperbolique s'expriment par :
    .

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Hyperbolic Cosine », sur MathWorld

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Analyse MPSI, Bréal, (lire en ligne), p. 26.
  2. Notation recommandée par la norme ISO 80000-2.