Tangente hyperbolique

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Graphe de la fonction tangente hyperbolique sur une partie de ℝ

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh (ou th)[1] est la fonction complexe suivante :

est la fonction sinus hyperbolique et la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus, et d'ailleurs, on a (pour tous les z du domaine de définition) , ou encore .

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

Le développement en série de Taylor en 0 de tanh s'exprime à l'aide des nombres de Bernoulli Bk, définis par la série entière suivante (de rayon de convergence ) :

Le rayon de convergence de cette série entière est π/2.

Développement en fraction continue[modifier | modifier le code]

En 1761, Jean-Henri Lambert a démontré que l'un des développements en fraction continue généralisée de la fonction tanh est ainsi qu'un théorème général permettant d'en déduire que l'exponentielle de tout rationnel non nul est un irrationnel (cf. « Fraction continue et approximation diophantienne »).

Valeurs[modifier | modifier le code]

Quelques valeurs de tanh :

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

La bijection réciproque de la restriction de tanh à ℝ, notée artanh (ou argtanh ou argth ou encore parfois tanh−1)[2], s'explicite par :

ln désigne le logarithme naturel.

Plus généralement, la fonction tanh se restreint en une bijection de ℝ+i]–π/2, π/2[ dans ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[), dont la réciproque est décrite par :

Log désigne la détermination principale du logarithme complexe.

En effet, pout tout z du domaine de définition de tanh, le complexe tanh(z) est l'image de u = e2z par la fonction uv = (u – 1)/(u + 1). Or cette fonction est une bijection de ℂ\{–1} dans ℂ\{1}, de réciproque vu = (1 + v)/(1 – v), et elle envoie ℂ\ℝ sur ℂ\(]–∞, –1]∪[1, +∞[).

Applications[modifier | modifier le code]

La fonction tangente hyperbolique passe graduellement d'une valeur –1 à une valeur 1. Elle peut donc être utilisée pour représenter un phénomène de transition progressive, « douce », entre deux états.

Certains phénomènes (physiques, économiques…) ne peuvent pas être décrits par une fonction unique sur tout le domaine d'étude. C'est le cas typiquement d'un matériau subissant des changements de phase dans le domaine de température et de pression étudié. On définit alors deux domaines conjoints (ou plus), et une fonction différente sur chaque domaine ; il peut s'agir d'une fonction ayant la même forme mais des paramètres différents. On a donc une fonction de la forme

la grandeur xt étant une constante, la valeur frontière.

Dans certains cas, ces fonctions à gauche et à droite ne se raccordent pas parfaitement : la fonction globale n'est alors pas dérivable, voire pas continue. En particulier, si les paramètres des fonctions ƒ1 et ƒ2 sont établis par régression sur des données mesurées, il n'y a pas de raccordement par construction (ƒ1(xt) ≠ ƒ2(xt)). Cet effet de seuil peut conduire à des problèmes calculatoires si cette fonction est utilisée pour résoudre numériquement (par ordinateur) un problème, typiquement résolution numérique d'une équation différentielle ou bien optimisation ; on peut alors avoir une instabilité numérique, un calcul itératif qui diverge.

Fonctions de transition.

Pour résoudre ce problème, et si les fonctions ƒ1 et ƒ2 sont définies sur tout l'ensemble d'étude, on peut glisser progressivement d'une fonction à l'autre en utilisant des « fonctions de transition » construites à partir d'une tangente hyperbolique : on définit deux fonctions g1 et g2 de la forme

l est un facteur de largeur. On définit alors la fonction globale

.

Dans le cadre de la relativité restreinte, le calcul des transformations de Lorentz fait aussi appel à la fonction tangente hyperbolique[réf. souhaitée].

En intelligence artificielle[modifier | modifier le code]

La fonction tangente hyperbolique est également très similaire à la fonction sigmoïde utilisée avec les réseaux de neurones pour ses caractéristiques de dérivabilité.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. La norme internationale ISO 80000-2:2009 recommande tanh
  2. La norme ISO 80000-2:2009 (en) recommande artanh.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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