Fonction homogène

Exemples de fonctions homogènes de degré 1 : les fonctions linéaires. Si x est multiplié par t, alors y l'est aussi.

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance, appelée degré.

Définitions

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif $K$.

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite homogène de degré $\alpha$ si :

$\forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)$

Si $K$ est un sous-corps des réels, on dit que $f$ est positivement homogène de degré $\alpha$ si :

$\forall t>0\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)$

Si $K$ est un sous-corps des complexes, on dit que $f$ est absolument homogène de degré $\alpha$ si :

$\forall t\in K\quad \forall x\in E\qquad f\!\left(tx\right)=|t|^{\alpha }f\!\left(x\right)$

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré $\alpha$ pour un certain $\alpha$ » ou « positivement homogène de degré 1 ».

Propriétés

Continuité

Exemple de fonction homogène discontinue.

Une fonction homogène n'est pas nécessairement continue comme l'illustre l'exemple suivant (voir figure ci-contre) :

$f\!\left(x,y\right)={\begin{cases}x&{\text{si}}\,xy>0\\0&{\text{si}}\,xy\leq 0\end{cases}}$

Cette fonction est homogène de degré 1, car $\forall \left(t,x,y\right)\in \mathbb {R} ^{3}$, $f\!\left(tx,ty\right)=t\,f\!\left(x,y\right)$. Mais elle n'est pas continue pour $y=0$, $x\neq 0$.

Dérivées partielles

Si $f$ est une fonction différentiable positivement homogène de degré $\alpha$, alors ses dérivées partielles sont positivement homogènes de degré $\alpha -1$ :

$f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }f\!\left(x\right)$ ${\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha -1}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)$

Démonstration.

Soit la fonction $f$ telle que :

${\begin{matrix}f:&C&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\longmapsto &f\!\left(x\right)\end{matrix}}$

Soit la fonction $u$ telle que :

${\begin{matrix}u:&\mathbb {R} ^{+,*}\times C&\longrightarrow &C\\&\left(t,x\right)&\longmapsto &u\!\left(t,x\right)=\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)=tx=\left(tx_{1},\ldots ,tx_{n}\right)\end{matrix}}$

Soit la fonction $F$ telle que :

${\begin{matrix}F:&C&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&u&\longmapsto &F\!\left(u\right)=f\!\left(tx\right)\end{matrix}}$

On a, $\forall a\in C$ et pour toutes variables $u_{i}$ et $x_{i}$ :

${\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(a\right)={\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(a\right)$

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne, quelle que soit la variable $x_{i}$, la dérivée partielle :

${\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)={\partial u_{i} \over \partial x_{i}}\!\left(t,x\right){\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial F \over \partial u_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)$

Si $f:C\to \mathbb {R}$ est une fonction positivement homogène de degré $\alpha$, alors :

$\forall t\in \mathbb {R} ^{+,*},\,\forall x\in C,\,F\!\left(u\right)=f\!\left(tx\right)=t^{\alpha }\,f\!\left(x\right)$

d'où, quelle que soit la variable $x_{i}$, la dérivée partielle :

${\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)=t^{\alpha }{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)$

Les deux expressions de la dérivée partielle de $F$ donnent par conséquent :

${\partial F \over \partial x_{i}}\!\left(u\right)=t{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha }{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)$

d'où, puisque $t\neq 0$ :

${\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(tx\right)=t^{\alpha -1}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)$

Exemple

Soit la fonction $f$ telle que, $\forall \left(a,b,c\right)\in \mathbb {R} ^{3}$ :

${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} ^{2}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x=\left(x_{1},x_{2}\right)&\longmapsto &f\!\left(x\right)=a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\end{matrix}}$

Cette fonction est homogène de degré 2 puisque, $\forall t\in \mathbb {R} ^{+}$ :

${\begin{aligned}f\!\left(tx\right)&=a\,\left(tx_{1}\right)^{2}+b\,\left(tx_{2}\right)^{2}+c\,\left(tx_{1}\right)\left(tx_{2}\right)\\&=t^{2}\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=t^{2}\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

On a les dérivées partielles :

${\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)=2a\,x_{1}+c\,x_{2}$

${\begin{aligned}{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(tx\right)&=2a\,\left(tx_{1}\right)+c\,\left(tx_{2}\right)\\&=t\,\left(2a\,x_{1}+c\,x_{2}\right)\\&=t{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)\end{aligned}}$

ainsi que :

${\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)=2b\,x_{2}+c\,x_{1}$

${\begin{aligned}{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(tx\right)&=2b\,\left(tx_{2}\right)+c\,\left(tx_{1}\right)\\&=t\,\left(2b\,x_{2}+c\,x_{1}\right)\\&=t{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)\end{aligned}}$

On vérifie donc que, $f$ étant homogène de degré 2, ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.

Identité d'Euler

Une fonction différentiable de $\mathbb {R} ^{n}$ dans $\mathbb {R}$ est positivement homogène de degré $\alpha$ si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler :

identité d'Euler : $\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\partial f \over \partial x_{i}}\!\left(x\right)=\alpha \,f\!\left(x\right)$

Exemple

En prolongement de l'exemple précédent, on a :

${\begin{aligned}x_{1}{\partial f \over \partial x_{1}}\!\left(x\right)+x_{2}{\partial f \over \partial x_{2}}\!\left(x\right)&=x_{1}\,\left(2a\,x_{1}+c\,x_{2}\right)+x_{2}\,\left(2b\,x_{2}+c\,x_{1}\right)\\&=2\,\left(a\,{x_{1}}^{2}+b\,{x_{2}}^{2}+c\,x_{1}x_{2}\right)\\&=2\,f\!\left(x\right)\end{aligned}}$

L'identité d'Euler est vérifiée.

Relations entre fonctions homogènes

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions homogènes de degré $\alpha$, alors $f+g$ est une fonction homogène de degré $\alpha$.

Si $f$ est une fonction homogène de degré $\alpha$ et $g$ est une fonction homogène de degré $\beta$, alors $fg$ est une fonction homogène de degré $\alpha +\beta$ et ${f \over g}$ est une fonction homogène de degré $\alpha -\beta$.

Si $f$ est une fonction homogène de degré $\alpha$ et $\gamma \in R^{*}$, alors $f^{\gamma }$ est une fonction homogène de degré $\alpha \gamma$.

Exemples

En mathématiques

• L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
• Une application linéaire est homogène de degré 1.
• Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
• Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
• La dérivée directionnelle (au sens de Dini) $h\mapsto f^{\prime }\!\left(x;h\right)$ d'une fonction $f$ définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
• Le déterminant d'une matrice de $M_{n}\!\left(K\right)$ est homogène de degré $n$.

En thermodynamique

En thermodynamique, une fonction $X$ est extensive si sa valeur, à pression $P$ et température $T$ constantes, est proportionnelle à la quantité de matière (ou, de façon équivalente, à la masse) du mélange considéré. Soit $n_{i}$ la quantité du constituant $i$ du mélange et $\lambda$ un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités $n_{i}$. La valeur finale de $X$ est égale à $\lambda$ fois sa valeur initiale :

$X\!\left(P,T,\lambda \,n_{1},\lambda \,n_{2},\cdots \right)=\lambda \,X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)$

Par exemple, à pression et température données, si l'on double les quantités de tous ses constituants, le volume d'un mélange est doublé ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, le volume est divisé par deux. Le volume est une fonction extensive, ainsi que les capacités thermiques, les potentiels thermodynamiques, l'entropie, etc.. Une fonction thermodynamique extensive est, en termes mathématiques, une fonction homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants, à pression et température données.

On définit la quantité de matière totale $n=\sum _{i}n_{i}$ du mélange et la fraction molaire $x_{i}=n_{i}/n$ de tout constituant $i$. L'extensivité de la fonction $X$ donne :

$X\!\left(P,T,n_{1},n_{2},\cdots \right)=X\!\left(P,T,n\,x_{1},n\,x_{2},\cdots \right)=n\,X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)$

Puisque $\sum _{i}x_{i}=\left(\sum _{i}n_{i}\right)/n=1$, la fonction ${\bar {X}}=X\!\left(P,T,x_{1},x_{2},\cdots \right)$ est la valeur de la fonction $X$ pour une quantité totale de matière égale à 1 mole : la grandeur ${\bar {X}}$ est appelée grandeur molaire. Quelle que soit la quantité $n$ (exprimée également en moles), on a $X=n\,{\bar {X}}$.

Les mêmes raisonnements peuvent être tenus en considérant les masses des constituants en place de leurs quantités ; on emploie alors les fractions massiques et l'on définit les grandeurs massiques.

En économie

En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée.

Voir aussi

Articles connexes

• Extensivité et intensivité (physique)
• Théorème d'Euler (fonctions homogènes)

Liens externes

• « 4 Fonctions homogènes » (version du 26 septembre 2007 sur Internet Archive) : cours en ligne.