Fonction homogène

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En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif K.

Une fonction f de E dans F est dite homogène de degré α si

.

Si K est un sous-corps des réels, on dit que f est positivement homogène de degré α si

[1].

Si K est un sous-corps des complexes, on dit que f est absolument homogène de degré α si

.

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré α pour un certain α » ou « positivement homogène de degré 1 »[2].

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriété[modifier | modifier le code]

Une fonction différentiable de ℝn dans ℝm est positivement homogène si et seulement si elle vérifie l'identité d'Euler et dans ce cas, ses dérivées partielles sont positivement homogènes (de degré 1 de moins).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour α = 1, c'est par exemple la définition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas t = 0 dans la définition, imposant ainsi de plus , comme (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, no 1-4,‎ , p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
  2. Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogène (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dès la définition.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Fonction de Cobb-Douglas

Lien externe[modifier | modifier le code]

Cours sur les fonctions homogènes