Inégalité arithmético-géométrique

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En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Étant donnés n réels strictement positifs x_1,\, \dots,\, x_n, on définit leur moyenne arithmétique \ m_a et leur moyenne géométrique \ m_g :

m_a = \frac{1}{n}\, (x_1 + \cdots + x_n) et m_g = \sqrt[n\,]{x_1\times\cdots\times x_n}.

L'inégalité arithmético-géométrique s'écrit alors :

m_g \leq m_a.

On peut également décrire le cas d'égalité

m_g  = m_a \Longleftrightarrow \forall i,j \in \{1,\ldots,n\},\ x_i=x_j.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Comme \ m_g > 0 et \ m_a > 0, m_g \leq m_a équivaut (par croissance stricte du logarithme) à

\ln(m_g) \leq \ln(m_a),

ou encore à

\frac{1}{n}\, \left[\,\ln(x_1) + \cdots + \ln(x_n)\right] \leq \ln \left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right).

Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme népérien, et aux coefficients (tous égaux) t_1 = \cdots = t_n = \frac{1}{n}.

Le cas d'égalité provient du fait que le logarithme népérien est strictement concave.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0,...0) et (1/n,....,1/n).

Généralisation[modifier | modifier le code]

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

si x_1,\ldots,x_n\ge 0 et \alpha_1,\ldots,\alpha_n>0 alors, en notant \alpha=\alpha_1+\ldots+\alpha_n :

\sqrt[\alpha]{x_1^{\alpha_1}\ldots x_n^{\alpha_n}}\le\frac{\alpha_1x_1+\ldots+\alpha_n x_n}{\alpha},

avec égalité si et seulement si tous les x_k sont égaux.

En effet, sans perte de généralité, on peut supposer qu'aucun x_k n'est nul, puis appliquer comme précédemment l’inégalité de Jensen avec, cette fois, t_k=\frac{\alpha_k}{\alpha}.