Inégalité arithmético-géométrique

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En mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Étant donnés n réels strictement positifs , on définit leur moyenne arithmétique et leur moyenne géométrique  :

et

L'inégalité arithmético-géométrique s'écrit alors :

On peut également décrire le cas d'égalité

Démonstration[modifier | modifier le code]

Comme et , équivaut (par croissance stricte du logarithme) à

ou encore à

Cette dernière inégalité n'est autre que l’inégalité de Jensen appliquée à la fonction logarithme népérien, et aux coefficients (tous égaux)

Le cas d'égalité provient du fait que le logarithme népérien est strictement concave.

L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead, appliquée aux suites (1,0,...0) et (1/n,....,1/n).

Généralisation[modifier | modifier le code]

L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :

si et alors, en notant  :

avec égalité si et seulement si tous les sont égaux.

En effet, sans perte de généralité, on peut supposer qu'aucun n'est nul, puis appliquer comme précédemment l’inégalité de Jensen avec, cette fois,

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]