Moyenne géométrique

Construction géométrique de la moyenne géométrique de deux nombres positifs: $l_{g}=BE$ (en rouge) est la moyenne géométrique de $l_{1}=AB$ et $l_{2}=BC$. Ceci est une conséquence du théorème de la moyenne géométrique.

En mathématiques, la moyenne géométrique est un type de moyenne qui peut servir d'indicateur de tendance centrale de nombres positifs en se basant sur leur produit.

Définitions

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs.

Définition par formule directe

La moyenne géométrique de a et b est la racine racine carrée de leur produit :

$G(a,b)={\sqrt {ab}}=(ab)^{1/2}.$

Définition géométrique

La moyenne géométrique des côtés d'un rectangle est donnée par la diagonale d'un carré de même aire. Elle est construite par un cercle tangent aux deux cercles définis par les côtés du rectangle et les séparant

Géométriquement, ce nombre $c=G(a,b)$ est le côté d'un carré dont l'aire est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque : $c^{2}=ab$.

Définition par égalité de rapports

Puisque

$c^{2}=ab\Leftrightarrow {\frac {c}{a}}={\frac {b}{c}},$

la moyenne géométrique est le nombre dont le rapport à l'un des termes est égal au rapport de l'autre terme avec lui.

Cette égalité étant une proportion, ceci justifie l'autre appellation « moyenne proportionnelle » de la moyenne géométrique.

Définition comme log-moyenne

Sous la forme $c={\sqrt {ab}}$ , on voit que le logarithme (en base quelconque) transforme l'expression en une moyenne arithmétique : $\log c={\frac {\log a+\log b}{2}}$ ; la moyenne géométrique de a et b est donc l'antilogarithme de la moyenne arithmétique de leurs logarithme, autrement dit leur log-moyenne.

Généralisations

Cas discret

La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative positive non nulle $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ est définie par le fait que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs de la série.

Sa formulation peut se faire comme suit :

$\log {\bar {x}}_{G}={\frac {\log x_{1}+\log x_{2}+\ldots +\log x_{n}}{n}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}.$

On en déduit :

${\bar {x}}_{G}={\sqrt[{n}]{x_{1}\times x_{2}\times \ldots \times x_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}.$

Pour une série statistique dont le nombre total d’occurrences est infini ou inconnu, mais dont le nombre de valeurs positives non nulles possibles est fini et leurs fréquences respectives dans la série sont connues, la formulation mathématique devient :

$\log {\bar {x}}_{G}={\frac {f_{1}\log x_{1}+f_{2}\log x_{2}+\ldots +f_{n}\log x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{f_{i}\log x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{f_{i}}}},\quad \mathrm {avec} \quad \sum _{i=1}^{n}{f_{i}}=1.$

On en déduit (en utilisant par exemple le logarithme népérien) :

${\bar {x}}_{G}=\exp \left({\frac {f_{1}\ln x_{1}+f_{2}\ln x_{2}+\ldots +f_{n}\ln x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}}}\right)=\exp \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}f_{i}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{f_{i}}}}\right),$

d’où :

${\bar {x}}_{G}={x_{1}}^{f_{1}}\times {x_{2}}^{f_{2}}\times \ldots \times {x_{n}}^{f_{n}}=\prod _{i=1}^{n}{{x_{i}}^{f_{i}}}.$

Cas continu

Moyenne géométrique d'une distribution

La moyenne géométrique d'une distribution f d'une variable continue à valeur dans un intervalle scalaire fini [x₀, x₁] est la généralisation à la limite de la formule statistique discrète précédente :

$\log {{\bar {f}}_{x_{0}}^{x_{1}}}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\log(x)f(x)~\mathrm {d} x},$

d’où :

${\bar {f}}_{x_{0}}^{x_{1}}=\exp \left(\int _{x_{0}}^{x_{1}}\ln(x)f(x)~\mathrm {d} x\right)\quad \mathrm {avec} \quad \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)~\mathrm {d} x=1.$

Sa dimension n'est pas une fréquence, mais est celle de sa variable continue.

Si la distribution f est définie sur toutes les valeurs réelles de sa variable continue, la moyenne géométrique de la distribution est :

${\bar {f}}=\exp \left(\int _{-\infty }^{+\infty }\ln(x)f(x)~\mathrm {d} x\right)\quad \mathrm {avec} \quad \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)~\mathrm {d} x=1.$

Moyenne géométrique d'une fonction

Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ à valeurs strictement positives sur $]a,b[$, sa moyenne géométrique sur cet intervalle est sa log-moyenne, à savoir l'antilogarithme de sa valeur moyenne, soit $${\text{G}}_{[a,b]}(f)=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)$$Par exemple, prendre la fonction identité $f(x)=x$ sur l'intervalle unité montre que la moyenne géométrique des nombres positifs entre 0 et 1 est égale à ${\frac {1}{e}}=\exp \left(\int _{0}^{1}{\ln x}\right)$ .

Liens avec les autres moyennes pythagoriciennes

La moyenne géométrique de deux nombres positifs est la moyenne arithmético-harmonique de ces deux nombres dans le sens où cette moyenne est définie sur le modèle de la moyenne arithmético-géométrique. Plus précisément, en considérant $x$ et $y$ positifs, et en définissant les suites :

$a_{0}=x,h_{0}=y,\forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}$

Alors :

$\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }h_{n}={\sqrt {xy}}.$

Démonstration

Les suites $(a_{n})$ et $(h_{n})$ sont adjacentes. En effet, comme la moyenne harmonique de deux nombres est toujours inférieure à leur moyenne arithmétique, on a :

$\forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}-h_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}}-{\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}}={\frac {(a_{n}+h_{n})^{2}-4a_{n}h_{n}}{2(a_{n}+h_{n})}}={\frac {(a_{n}-h_{n})^{2}}{2(a_{n}+h_{n})}}\geqslant 0$

$\forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}-a_{n}={\frac {h_{n}-a_{n}}{2}}\leqslant 0,\ h_{n+1}-h_{n}={\frac {2h_{n}(a_{n}-h_{n})}{a_{n}+h_{n}}}\geqslant 0$

D'autre part, la suite $(a_{n}h_{n})$ est constante :

$\forall n\in \mathbb {N} ,a_{n+1}h_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}}\times {\frac {2a_{n}h_{n}}{a_{n}+h_{n}}}=a_{n}h_{n}.$

D'où, par adjacence :

$xy=a_{0}h_{0}=\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}h_{n}=\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}\right)\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }h_{n}\right)=\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}\right)^{2}=\left(\lim _{n\rightarrow +\infty }h_{n}\right)^{2}.$

Intérêt

Pour les statisticiens, la moyenne géométrique (antilogarithme de la moyenne des logarithmes de chacune des observations) est moins sensible que la moyenne arithmétique aux valeurs les plus élevées d'une série de données. Elle donne, par conséquent, une autre et meilleure estimation de la tendance centrale des données dans le cas d’une distribution à longue traîne à l’extrémité supérieure de la courbe (type de distribution fréquente dans les mesures sanitaires ou environnementales par exemple de toxiques dans l'organisme, le sang ou l'environnement, où certains individus ou groupes vulnérables ou exposés à des cas particuliers sont plus affectés).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Geometric Mean », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Arithmetic-Harmonic Mean », sur MathWorld

Voir aussi

• Moyenne géométrique pondérée.
• Théorème de la moyenne géométrique.
• Moyenne quadratique : fondée sur la moyenne arithmétique des carrés.
• Moyenne : présentation des autres moyennes
• Statistique : la moyenne arithmétique est un estimateur sans biais de l'espérance.
• Inégalité arithmético-géométrique