K-théorie algébrique

En mathématiques, la K-théorie algébrique est une branche importante de l'algèbre homologique. Son objet est de décrire l'algèbre linéaire sur un anneau, en lui associant une famille de groupes abéliens. Plus précisément, il s'agit de réaliser une construction analogue à une théorie homologique pour les anneaux, par une suite de foncteurs $K_{n}$ de la catégorie des anneaux dans celle des groupes abéliens. Cette construction puise ses inspirations dans l'énoncé par Alexandre Grothendieck du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch. Ses fondements sont définitivement établis par Daniel Quillen en 1972, qui s'inspire de la théorie pré-existante de la K-théorie topologique.

Les trois premiers K-groupes $K_{0}$, $K_{1}$ et $K_{2}$ sont souvent considérés en des termes un peu différents des suivants. Ils peuvent être décrits plus élémentairement, tout en ayant de nombreuses applications en topologie algébrique, en géométrie arithmétique et en théorie algébrique des nombres. La théorie des K-groupes supérieurs est plus profonde et ces groupes sont plus difficiles à calculer. Cette difficulté s'illustre par exemple dans le cas élémentaire de l'anneau des entiers, où ils ne sont pas entièrement connus.

Le groupe abélien $K_{0}(A)$ d'un anneau $A$ généralise la construction du groupe des classes d'idéaux d'un anneau de Dedekind, par l'intermédiaire des $A$-modules projectifs. Il est construit dans les années 1960 et 1970. Il est relié à beaucoup d'autres problèmes algébriques classiques, notamment la « conjecture de Serre » sur les modules projectifs, résolue indépendamment par Daniel Quillen et Andrei Suslin en 1972. Le groupe $K_{0}(A)$ contient également d'autres invariants, comme l'invariant de finitude^[Quoi ?].

Le groupe $K_{1}(A)$ est une modification du groupe des unités de $A$, construit à partir des matrices élémentaires. Son utilisation est importante en topologie, en particulier lorsque l'anneau $A$ est un anneau de groupe, puisqu'il contient la torsion de Whitehead (en), un élément d'un certain groupe quotient, le groupe de Whitehead (en), utilisé en théorie du type simple d'homotopie et de la chirurgie.

À partir des années 1980, la K-théorie algébrique trouve un nombre croissant d'applications en géométrie algébrique. La cohomologie motivique lui est par exemple intimement liée. Elle est également fondamentale en théorie algébrique des nombres, en lien avec les valeurs spéciales de fonctions L, notamment à travers les conjectures de Quillen-Lichtenbaum (en) et de Bloch-Kato (en).

Histoire

Commentaire de Alexandre Grothendieck sur le théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch, où apparaissent les premiers K-groupes.

Dans les années 1950, Alexandre Grothendieck souhaite établir un cadre satisfaisant pour généraliser le théorème de Riemann-Roch en géométrie algébrique, généralisation maintenant connue sous le nom de théorème de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch. Grothendieck est alors le premier à donner la définition du groupe aujourd'hui connu comme le K-groupe d'indice zéro d'une variété algébrique et à suggérer l'existence d'une théorie plus riche. Il choisit la lettre K pour l'allemand Klasse (« classe » en français), la lettre C étant déjà régulièrement utilisée pour désigner divers concepts mathématiques.

Quelques années plus tard, Michael Atiyah et Friedrich Hirzebruch s'en inspirent pour en construire un analogue, la K-théorie topologique (en). Ils exhibent d'abord le K-groupe d'indice zéro topologique, avant de construire les K-groupes topologique d'indices supérieurs. À partir de 1959, Atiyah, Hirzebruch et Frank Adams découvrent de nombreuses applications des K-groupes topologiques, en particulier en chirurgie des variétés. Un peu plus tard, le développement d'une branche de la théorie des algèbres d'opérateurs donne naissance à la K-théorie des opérateurs (en) et à la KK-théorie (en).

En parallèle, le pendant algébrique de la K-théorie s'avère plus long à développer. Jean-Pierre Serre, s'inspirant de résultats topologiques sur les fibrés vectoriels, conjecture la structure des modules projectifs sur certains anneaux de polynômes. Ses travaux motivent la recherche d'un équivalent algébrique à la K-théorie topologique, par analogie entre les fibrés vectoriels et les modules projectifs. En 1961, John Milnor définit à l'aide des travaux de J. H. C. Whitehead un groupe qui sera identifié par Hyman Bass et Stephen Schanuel comme le K-groupe d'indice un d'un anneau. Utilisant les travaux de Steinberg sur les extensions centrales universelles des groupes algébriques classiques, Milnor définit ensuite le K-groupe d'indice deux. Les travaux d'Hideya Matsumoto permettent d'en donner une description explicite dans le cas d'un corps.

Les différents avatars en géométrie algébrique, en topologie algébrique, en analyse fonctionnelle et en algèbre de la K-théorie possèdent alors différentes définitions, à première vue non équivalentes. De surcroît, une définition des K-groupes algébrique supérieurs est toujours manquante. Ces difficultés pour établir des fondements rigoureux de la K-théorie algébrique finissent par êtres résolues par Daniel Quillen, laissant une théorie profonde et difficile. Quillen donne plusieurs définitions équivalentes des groupes de K-théorie supérieurs $K_{n}(A)$ pour tout entier naturel n, via sa construction « $+$ » et sa construction « $Q$ ».

Il devient également clair que la K-théorie a un rôle à jouer en géométrie algébrique, dans la théorie des cycles (conjecture de Gersten). Les groupes de K-théorie supérieurs y sont en effet reliés aux phénomènes survenant en codimensions supérieures, qui sont les plus difficiles à appréhender.

Premiers groupes de K-théorie

Les K-groupes d'indice 0 et 1 sont les premiers à être découverts, sous diverses descriptions ad hoc, qui restent utiles. Le K-groupe d'indice 2 a été introduit plus tard par Milnor, via une définition elle aussi relativement élémentaire. Dans toute la suite, $A$ désigne un anneau unifère.

Groupe K₀

L'ensemble $\mathbf {P} (A)$ des classes d'isomorphisme des $A$-modules projectifs de type fini, muni de la somme directe, forme un monoïde. On définit $K_{0}(A)$ comme le groupe de Grothendieck de ce monoïde.

Une variante géométrico-algébrique de cette construction s'applique à la catégorie des variétés algébriques. On associe à une variété algébrique $X$ le K-groupe de Grothendieck de la catégorie des faisceaux localement libres (ou des faisceaux cohérents) sur $X$. Cette construction généralise la précédente, à condition de remplacer un anneau par son spectre.

Exemples

• Dans le cas où $A$ est un corps $k$, les $k$-modules sont exactement les les $k$-espaces vectoriels et sont tous libres (et donc projectifs). Le monoïde $\mathbf {P} (k)$ est donc isomorphe à $\mathbb {N}$, via l'application dimension, et $K_{0}(k)\simeq \mathbb {Z}$.
• Plus généralement, les modules projectifs sur un anneau local $A$ sont libres et $K_{0}(A)\simeq \mathbb {Z}$, par l'application rang.
• Si A est un anneau de Dedekind, alors $K_{0}(A)\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathrm {Cl} (A)$, où $\mathrm {Cl} (A)$ désigne le groupe des classes de $A$. D'un point de vue géométrique, ceci se reformule en $K_{0}(A)\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathrm {Pic} (A)$, où $\mathrm {Pic} (A)$ est le groupe de Picard de $A$.
• Pour tout espace topologique compact, le K-groupe topologique d'indice zéro des fibrés vectoriels réels sur X coïncide avec le K-groupe algébrique de l'anneau des fonctions continues de $X$ dans $\mathbb {R}$.

Fonctorialité

Cette construction est fonctorielle, puisque tout morphisme d'anneaux $A\to B$ induit un morphisme de groupes $K_{0}(A)\to K_{0}(B)$, qui envoie la classe d'un $A$-module $M$ projectif et de type fini sur le produit tensoriel $M\otimes _{A}B$. En d'autres termes, $K_{0}$ est un foncteur covariant de la catégorie des anneaux vers la catégorie des groupes abéliens.

Constructions homologiques

On peut étendre la définition de K₀ à un anneau B non nécessairement unifère en considérant son unitarisé A = B¹ et le morphisme canonique d'anneaux unifères A → ℤ. On définit alors K₀(B) comme le noyau du morphisme K₀(A) → K₀(ℤ) = ℤ correspondant.

De nombreuses constructions usuelles de l'algèbre homologique s'appliquent au groupe $K_{0}(A)$.

• Si l'anneau $A$ est commutatif, on peut définir dans $K_{0}(A)$ le sous-groupe${\widetilde {K}}_{0}(A)=\bigcap _{P}\mathrm {Ker} \dim _{P}$,où l'intersection décrit les idéaux premiers $P$ de $A$ et avec $\dim _{P}:K_{0}(A)\to \mathbb {Z}$ l'application qui à la classe de $M$ associe le rang du $A_{P}$-module libre $M_{P}=M\otimes _{A}A_{P}$, où $A_{P}$ désigne le localisé de $A$ en $P$. Le sous-groupe ${\widetilde {K}}_{0}(A)$ est appelé la K-théorie réduite d'indice $0$ de $A$. Dans le cas où $A$ est un anneau de Dedekind, on calcule par exemple ${\widetilde {K}}_{0}(A)\simeq \mathrm {Pic} (A)$.
• Soit $I$ un idéal de $A$. On définit le « double » associé comme le sous-anneau suivant de l'anneau produit $A\times A$,$D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A\mid x-y\in I\},$puis le K-groupe relatif,$K_{0}(A,I)=\ker \left(K_{0}(D(A,I))\to K_{0}(A)\right),$où l'application est induite par la projection sur le premier facteur. Le K-groupe relatif $K_{0}(A,I)$ est isomorphe à $K_{0}(I)$, où $I$ est vu comme un anneau sans unité. L'indépendance de $A$ de cette construction est un analogue du théorème d'excision en homologie.

L'anneau K₀

Si l'anneau $A$ est commutatif, alors le produit tensoriel de deux modules projectifs est encore projectif, ce qui induit une multiplication faisant de $K_{0}(A)$ un anneau commutatif, avec la classe de $A$ comme neutre multiplicatif. Le groupe de Picard se plonge dans le groupe des unités de $K_{0}(A)$. De même, le produit extérieur induit une structure de λ-anneau (en) sur $K_{0}(A)$.

Groupe K₁

À partir des travaux de John Milnor sur la torsion de Whitehead (en), Hyman Bass et Stephen Schanuel donnent la définition suivante pour $K_{1}(A)$, qui généralise celle du groupe des unités d'un anneau. Le groupe $K_{1}(A)$ est l'abélianisé du groupe général linéaire infini,

$K_{1}(A)=\mathrm {GL} (A)^{\mathrm {ab} }=\mathrm {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\mathrm {GL} (A)]$.

D'après le lemme de Whitehead, le groupe dérivé $[\mathrm {GL} (A),\mathrm {GL} (A)]$ coïncide avec le sous-groupe parfait $E(A)$ engendré par les matrices élémentaires. Le groupe $\mathrm {GL} (A)/E(A)$, d'abord défini et étudié par Whitehead, est appelé le groupe de Whitehead de l'anneau A.

Constructions homologiques

Soit $I$ un idéal de $A$. Le K-groupe relatif $K_{1}(A,I)$ est défini en termes du « double », déjà utilisé pour construire le K-groupe relatif $K_{0}(A,I)$ :

$K_{1}(A,I)=\ker {\Big (}K_{1}(D(A,I))\to K_{1}(A){\Big )}$.

Il s'insère dans la suite exacte :

$K_{1}(A,I)\to K_{1}(A)\to K_{1}(A/I)\to K_{0}(A,I)\to K_{0}(A)\to K_{0}(A/I)$.

Anneaux commutatifs

Si l'anneau A est commutatif, on peut définir un morphisme déterminant, de GL(A) dans le groupe A^× des unités de A. Cette application s'annule sur E(A) donc passe au quotient et définit un morphisme det : K₁(A) → A^×, dont le noyau est le groupe de Whitehead spécial SK₁(A) := SL(A)/E(A). On obtient même une suite exacte courte scindée à droite$1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{\times }\to 1,$quotient de celle,$1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{\times }\to 1,$dont une section A^× → GL(A) est donnée par l'inclusion de A^× = GL(1, A) dans GL(A).

Ainsi, K₁(A) se décompose en la somme directe du groupe des unités et du groupe de Whitehead spécial : K₁(A) ≃ A^× ⊕ SK₁(A).

Si A est un anneau euclidien (par exemple un corps commutatif, ou l'anneau des entiers) ou semi-local, alors le groupe SK₁(A) est trivial et le déterminant est un isomorphisme de K₁(A) dans A^×. C'est faux pour un anneau principal quelconque, ce qui fournit l'une des rares propriétés des anneaux euclidiens ne se généralisant pas aux anneaux principaux. Des contre-exemples ont été donnés par Bass en 1972, puis par Ischebeck en 1980.

SK₁(A) est également trivial si A est un sous-anneau de Dedekind d'un corps de nombres.

La trivialité de SK₁ peut s'interpréter en disant que K₁ est engendré par l'image de GL₁. Lorsque ce n'est pas le cas, on peut chercher si K₁ est engendré par l'image de GL₂. C'est vrai pour un anneau de Dedekind, K₁ étant alors engendré par les images de GL₁ et SL₂. On peut étudier le sous-groupe de SK₁ engendré par SL₂ en faisant intervenir les symboles de Mennicke (en). Pour un anneau de Dedekind dont tous les quotients par les idéaux maximaux sont finis, SK₁ est un groupe de torsion.

Pour un anneau non commutatif, le morphisme déterminant n'est pas défini en général, mais l'application GL(A) → K₁(A) en est un substitut.

Algèbres centrales simples

Si A est une algèbre centrale simple sur un corps F, la norme réduite fournit une généralisation du déterminant, donnant une application K₁(A) → F*, et l'on peut définir SK₁(A) comme son noyau. Shianghao Wang (en) a démontré que si le degré de A est premier alors SK₁(A) est trivial. Wang a aussi prouvé que SK₁ est trivial pour toute algèbre centrale simple sur un corps de nombres. Vladimir Platonov a donné des exemples, pour tout nombre premier p, d'algèbres de degré p² dont le SK₁ n'est pas trivial.

Groupe K₂

John Milnor a défini $K_{2}(A)$ d'un anneau $A$ comme le centre de l'extension centrale universelle du groupe de Steinberg $E(A)$ engendré par les matrices élémentaires infinies sur $A$. Ce groupe est isomorphe au second groupe d'homologie $H_{2}(E(A),\mathbb {Z} )$ de $E(A)$ et est munit d'une application bilinéaire naturelle de $K_{1}(A)\times K_{1}(A)$ dans $K_{2}(A)$. Dans le cas particulier d'un corps $k$, le groupe $K_{1}(k)$ de $k$ est isomorphe à son groupe multiplicatif $GL_{1}(k)$, et des calculs de Hideya Matsumoto montrent que $K_{2}(k)$ est isomorphe au groupe engendré par $K_{1}(k)\times K_{1}(k)$ modulo un certain ensemble de relations, les relations de Steinberg.

Le groupe $K_{2}(A)$ est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), et le multiplicateur de Schur du groupe E(A) engendré par les matrices élémentaires.

K₂(ℤ) = ℤ/2ℤ et plus généralement, le K₂ de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est fini.

K₂(ℤ/nℤ) est encore ℤ/2ℤ si n est divisible par 4, mais est trivial sinon.

Théorème de Matsumoto

Le K₂ d'un corps est déterminé par les symboles de Steinberg :

Théorème de Matsumoto — Pour tout corps commutatif k,$K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbb {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .$

On en déduit facilement que le K₂ de tout corps fini est trivial.

Le calcul de K₂(ℚ) est un peu plus compliqué. John Tate a prouvé que

$K_{2}(\mathbb {Q} )=(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\times \prod _{p{\text{ premier impair}}}(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }$

en remarquant que la preuve suivait le même plan que la première des preuves par Gauss de la loi de réciprocité quadratique.

Si F est un corps local non archimédien, son K₂ est la somme directe du groupe cyclique fini ℤ/mℤ et du groupe divisible K₂(F)^m, où m est le nombre de racines de l'unité dans F.

Suites exactes longues

Si A est un anneau de Dedekind et F son corps des fractions, on a une suite exacte longue

$K_{2}(F)\to \oplus _{P}K_{1}(A/P)\to K_{1}(A)\to K_{1}(F)\to \oplus _{P}K_{0}(A/P)\to K_{0}(A)\to K_{0}(F)\to 0$

où P parcourt l'ensemble des idéaux premiers non nuls de A.

D'autre part, pour tous A et I (idéal de A), la suite exacte qui met en jeu les K₁ et K₀ relatifs se prolonge :

$K_{2}(A)\to K_{2}(A/I)\to K_{1}(A,I)\to K_{1}(A)\cdots \ .$

Accouplement

Il existe un accouplement sur K₁ à valeurs dans K₂ : étant donné une paire de matrices commutantes X et Y sur A, soient x et y des antécédents dans le groupe de Steinberg. Le commutateur xyx⁻¹y⁻¹ est un élément du K₂. Cette application n'est pas toujours surjective.

K-théorie de Milnor

L'expression ci-dessus du K₂ d'un corps commutatif k a conduit Milnor à une définition des K-groupes « supérieurs » comme les composantes, en chaque degré, du quotient de l'algèbre tensorielle du groupe abélien k^× par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1 :

$K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)).$

Pour n = 0, 1 ou 2, ces groupes K^M_n coïncident avec les groupes K_n définis ci-dessous, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents. Par exemple, pour tout corps fini k, K^M_n(k) est trivial pour tout n ≥ 2, tandis que K_n(k) n'est trivial que si n est pair.

L'image dans K^M_n(k) d'un élément a₁ ⊗ … ⊗ a_n est appelée un symbole, et notée {a₁, …, a_n}. Si m est un entier inversible dans k, il existe une application

$\partial :k^{*}\to H^{1}(k,\mu _{m})$

où μ_m désigne le groupe des racines m-ièmes de l'unité dans une extension séparable de k. Elle s'étend en une application

$\partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\to H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right),$

qui vérifie les relations définissant les K-groupes de Milnor. L'application ∂ⁿ, ainsi définie sur K^M_n(k), est appelée « symbole de Galois ».

La relation entre la cohomologie étale (ou de Galois) du corps et sa K-théorie de Milnor modulo 2 est la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voevodsky. L'énoncé analogue pour les nombres premiers impairs est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky, Rost et d'autres.

Groupes supérieurs de K-théorie

Après quelques années pendant lesquelles diverses définitions incompatibles avaient été suggérées pour les K-groupes d'indices supérieurs, c'est celle donnée par Quillen qui fut acceptée. L'enjeu était de trouver des définitions de K(R) et K(R, I) en termes d'espaces classifiants, de telle sorte que R ↦ K(R) et (R, I) ↦ K(R, I) soient des foncteurs à valeurs dans une catégorie homotopique (en) d'espaces et que la suite exacte longue pour les K-groupes relatifs soit simplement la suite exacte longue d'homotopie d'une fibration K(R, I) → K(R) → K(R/I).

Quillen donna deux constructions, la « construction plus » et la « construction Q », cette dernière étant par la suite modifiée de diverses façons. Les deux constructions donnent les mêmes K-groupes.

Construction plus

Pour n > 0, Quillen définit le n-ième K-groupe de R comme le n-ième groupe d'homotopie d'un espace obtenu en appliquant sa construction plus (de) au classifiant BGL(R) du groupe linéaire infini GL(R) : $K_{n}(R)=\pi _{n}(B{\rm {GL}}(R)^{+}).$

Pour étendre cette définition au cas n = 0, il suffit de poser $K_{n}(R)=\pi _{n}(B{\rm {GL}}(R)^{+}\times K_{0}(R)),$

puisque BGL(R)⁺ est connexe par arcs et K₀(R) est discret.

Construction Q

La construction Q (en) donne les mêmes résultats que la construction plus mais s'applique à des situations plus générales. En outre, elle est plus directe, au sens où les K-groupes qu'elle produit sont fonctoriels par définition, alors que ce fait n'est pas immédiat dans la construction plus.

À toute catégorie exacte P, on associe la catégorie QP dont les objets sont ceux de P et dont les morphismes de M vers M' sont les classes d'isomorphismes de diagrammes dans P de la forme

$M\leftarrow N\to M',$

où la première flèche est un épimorphisme admissible et la seconde un monomorphisme admissible.

Le n-ième K-groupe de la catégorie exacte P est alors défini par

$K_{n}(P)=\pi _{n+1}(\mathrm {BQ} P,0)$

où 0 est un objet nul fixé et BQP est l'espace classifiant de la catégorie QP, c'est-à-dire la réalisation géométrique (en) de son nerf. En particulier, K₀(P) est le groupe de Grothendieck de P.

En prenant pour P la catégorie des R-modules projectifs de type fini, on trouve les mêmes groupes que les K_n(R) définis par la construction plus. Plus généralement, les K-groupes d'un schéma X sont définis comme ceux de la catégorie (exacte) des faisceaux cohérents localement libres sur X.

On utilise aussi la variante suivante : au lieu des R-modules de type fini projectifs (i.e. localement libres), on prend tous les R-modules de type fini. On note couramment G_n(R) les K-groupes ainsi obtenus. Si R est un anneau noethérien régulier, ses G- et K-théories coïncident. En effet, la dimension globale de R est finie, c'est-à-dire que tout R-module de type fini M admet une résolution (en) projective P* → M, et un argument simple permet d'en déduire que le morphisme canonique K₀(R) → G₀(R) est bijectif, avec [M] = Σ ±[P_n]. On montre que le morphisme entre K-groupes supérieurs est également bijectif.

Construction S

Une troisième construction des K-groupes est la construction S de Waldhausen (en). Elle s'applique aux catégories avec cofibrations (appelées catégories de Waldhausen (en)), plus générales que les catégories exactes.

Exemples

Alors que la K-théorie algébrique de Quillen a aidé à comprendre en profondeur divers aspects de la géométrie et de la topologie algébriques, les K-groupes se sont avérés particulièrement difficiles à calculer, sauf dans quelques cas isolés mais intéressants.

Corps finis

Ce premier calcul de K-groupes supérieurs d'un anneau — et l'un des plus importants — fut effectué par Quillen lui-même : le corps fini à q éléments étant noté F_q, on a :

• K₀(F_q) = ℤ,
• K_2i(F_q) = 0 pour i ≥ 1,
• K_2i–1(F_q) = ℤ/(qⁱ – 1)ℤ pour i ≥ 1.

Anneaux d'entiers

Quillen a démontré que les K-groupes de l'anneau O_F des entiers d'un corps de nombres F sont de type fini. Armand Borel s'en est servi pour calculer K_i(O_F) et K_i(F) modulo torsion. Par exemple pour F = ℚ, Borel a démontré que pour tout i > 1, K_i(ℤ) modulo torsion est ℤ si i est congru à 1 modulo 4 et 0 sinon.

On a récemment déterminé les sous-groupes de torsion des K_2i+1(ℤ) et l'ordre des groupes abéliens finis K_4k+2(ℤ), mais les questions de la cyclicité de ces derniers et de la trivialité des K_4k(ℤ) dépendent de la conjecture de Vandiver sur le groupe des classes des entiers cyclotomiques. Voir l'article « Conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) » pour plus de détails.

Applications et questions ouvertes

Les groupes de K-théorie algébrique interviennent dans des conjectures sur les valeurs spéciales (en) de fonctions L, la formulation de la conjecture principale en théorie d'Iwasawa non commutative et la construction de régulateurs supérieurs (en).

La conjecture de Parshin (en) prévoit que pour toute variété lisse sur un corps fini, les K-groupes supérieurs sont de torsion.

Celle de Bass (en) prévoit que pour toute ℤ-algèbre A de type fini, tous les groupes G_n(A) sont de type fini.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Algebraic K-theory » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Daniel Quillen, « Higher algebraic K-theory. I », dans Hyman Bass, Algebraic K-Theory, I: Higher K-Theories, Springer, coll. « Lecture Notes in Math. » (n^o 341), 1973 (ISBN 978-3-540-06434-3, DOI 10.1007/BFb0067053, MR 0338129), p. 85-147
• (en) John Willard Milnor, Introduction to Algebraic K-Theory, PUP, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 72), 1971 (zbMATH 0237.18005, lire en ligne), p. 5
• (en) Jonathan Rosenberg, Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer, coll. « GTM » (n^o 147), 1994, 394 p. (ISBN 978-0-387-94248-3, DOI 10.1007/978-1-4612-4314-4, zbMATH 0801.19001, lire en ligne)
• (en) Franz Lemmermeyer, Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein, Springer, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000, 492 p. (ISBN 978-3-642-08628-1, DOI 10.1007/978-3-662-12893-0, zbMATH 0949.11002, lire en ligne)
• (en) Philippe Gille et Tamás Szamuely (de), Central simple algebras and Galois cohomology, CUP, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 101), 2006 (ISBN 0-521-86103-9, zbMATH 1137.12001, lire en ligne)
• (en) Eric M. Friedlander et Charles W. Weibel, « An overview of algebraic K-theory », dans Algebraic K-theory and its Applications (Trieste, 1997), World Sci. Publ., 1999, p. 1-119.
• (en) Charles A. Weibel, « The development of algebraic 𝐾-theory before 1980 », dans Contemporary Mathematics, vol. 243, American Mathematical Society,‎ 1999, 211–238 p. (ISBN 978-0-8218-1087-3, DOI 10.1090/conm/243/03695, lire en ligne)

Voir aussi

Ouvrages

• (en) Hyman Bass, Algebraic K-theory, W. A. Benjamin, coll. « Mathematics Lecture Note Series », 1968 (zbMATH 0174.30302)
• (en) Eric Friedlander et Daniel Grayson, Handbook of K-Theory, Springer, 2005 (ISBN 978-3-540-30436-4, DOI 10.1007/978-3-540-27855-9)
• (en) Emilio Lluis-Puebla, Jean-Louis Loday, Henri Gillet, Christophe Soulé et Victor Snaith (de), Higher Algebraic K-theory : An Overview, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (n^o 1491), 1992, 166 p. (ISBN 978-3-540-55007-5, zbMATH 0746.19001)
• (en) Bruce A. Magurn, An Algebraic Introduction to K-Theory, CUP, coll. « Encyclopedia of Mathematics and its Applications » (n^o 87), 2009 (ISBN 978-0-521-10658-0, lire en ligne)
• (en) John Willard Milnor, « Algebraic K-theory and quadratic forms », Invent. Math., vol. 9, n^o 4,‎ 1970, p. 318-344 (DOI 10.1007/BF01425486)
• (en) Daniel Quillen, « Higher algebraic K-theory », dans Proc. ICM (Vancouver, B. C., 1974), vol. 1, Canad. Math. Congress, 1975, p. 171-176 (construction Q)
• (en) Wolfgang Seiler, « λ-Rings and Adams Operations in Algebraic K-Theory », dans M. Rapoport, P. Schneider et N. Schappacher, Beilinson's Conjectures on Special Values of L-Functions, Academic Press,‎ 1988 (ISBN 978-0-12-581120-0)
• (en) Vasudevan Srinivas (en), Algebraic K-Theory, Birkhäuser, coll. « Modern Birkhäuser Classics », 2008, 341 p. (ISBN 978-0-8176-4736-0, zbMATH 1125.19300, lire en ligne)
• (en) Charles Weibel, The K-book : An Introduction to Algebraic K-theory, AMS, coll. « GSM » (n^o 145), 2013 (lire en ligne)

Liens externes

• (en) « K-theory Preprint Archives »
• (en) « Examples of algebraic K-theory groups », sur PlanetMath
• (en) « Algebraic K-theory », sur PlanetMath

Articles connexes

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