Anneau local régulier

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En mathématiques, les anneaux réguliers forment une classe d'anneaux très utile en géométrie algébrique. Ce sont des anneaux qui localement sont les plus proches possibles des anneaux de polynômes sur un corps.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit un anneau local noethérien d'idéal maximal . Soit son espace tangent de Zariski qui est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps résiduel . Cette dimension est minorée par la dimension de Krull de l'anneau . On dit que est régulier s'il y a égalité entre ces deux dimensions :

Par le lemme de Nakayama, cela équivaut à dire que est engendré par éléments. Tout système de générateurs de avec éléments est alors appelé un système de paramètres régulier de .

Un anneau local qui n'est pas régulier est dit singulier.

Théorème —  Soit un anneau local noethérien régulier. Alors pour tout idéal premier de , le localisé (qui est un anneau local d'idéal maximal ) est régulier.

On dit qu'un anneau commutatif unitaire noethérien est régulier si pour tout idéal premier de , l'anneau local noethérien est régulier.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tout anneau principal est régulier. En effet la localisation d'un tel anneau en un idéal premier est soit un corps (si l'idéal premier est 0), soit un anneau local principal, auquel cas la dimension de l'anneau et la dimension de l'espace tangent valent 1 tous les deux.
  • Si A est intègre de dimension 1, alors A est régulier si et seulement s'il est intégralement clos (i.e. tout élément du corps des fractions de A entier sur A appartient nécessairement à A). Donc c'est équivalent à ce que A soit de Dedekind.
  • Un anneau de séries formelles k[[T1, … , Tn]] à coefficients dans un corps k est régulier.
  • Le critère Jacobien fournit des localisations régulières des algèbres de type fini sur un corps.

Critères de régularité[modifier | modifier le code]

Soit un anneau local noethérien régulier.

  • Soit un idéal propre de . Alors est régulier si et seulement si est engendré par une partie d'un système de paramètres régulier de .
  • L'anneau de polynômes à variables à coefficients dans un corps est régulier. Plus généralement, l'anneau de polynômes est régulier.
  • Le complété formel (en) de est un anneau local régulier.
  • Si est plat sur un sous-anneau local noethérien , alors est régulier.

Propriétés des anneaux locaux réguliers[modifier | modifier le code]

Soit un anneau local régulier de dimension .

  • est intègre et intégralement clos.
  • Soit la -algèbre graduée associée à . Alors est isomorphe à (graduée par le degré total).

Références bibliographiques[modifier | modifier le code]

  • N. Bourbaki, Algèbre commutative, Masson 1983. Chapitre VIII, § 5.
  • H. Matsumura, Commutative algebra, second edition, The Benjamin/Cummings Publ. Company, 1980. Chapter 7.